Produit scalaires entre des vecteurs de R^n

[invite8d54258a]

Bonsoir, encore sur un exercice d'algèbre linéaire.

But : montrer qu'il n'existe pas n+2 vecteurs de vérifiant : (*)

On suppose donc que la condition (*) est vérifiée ...
On considère la matrice A de terme générique .

1. Montrer que A est symétrique (ie ) et positive (ie ).

2. Démontrer que le rang de A est inférieur ou égal à n.

3. Prouver qu'il existe n+2 réels strictement positifs tels que .

4. Conclure.
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1. A est symétrique car le produit scalaire l'est et on a . Ensuite pour je ne vois pas.

2. J'arrive à montrer que et qui est nécessairement liée car en dimension n. Est-ce pour cela que le rang est inférieur ou égal à n ? Car on est en dimension n ? Je n'arrive pas à comprendre l'argument.

3. et 4. je bloque.
Help !
Merci
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[KerLannais]

Salut

Si tu pose la matrice B comme étant la matrice à n lignes et n+2 colonnes et dont les colonnes sont les n+2 vecteurs écrits dans la base canonique de (ou tout autre base orthonormée) alors le produit
est bien défini comme produit d'une matrice (n+2) x n par une matrice n x (n+2) et donne une matrice (n+2) x (n+2) qui n'est autre que A. On a alors

et sinon le rang d'une famille est toujours inférieur à la dimension de l'espace puisque c'est la dimension du sous-espace engendré par la famille qui ne saurait excéder la dimension de l'espace tout entier.

[invite8d54258a]

Parfait ! Donc la famille est forcément liée, d'où l'existence de n+2 scalaires non tous nuls tels que . Mais à priori, rien n'indique que les scalaires sont tous positifs !
Si je note et , il faut prouver que I est vide.

On a :

Je ne vois pas comment continuer

[invite8d54258a]

En poursuivant mon idée, si je pose alors j'ai .

Donc , mais j'ai comme l'impression de tourner en rond

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Tu ne tournes pas en rond, tu as trouvé la réponse à la question 4. (en supposant que 3. est vrai alors il n'y a pas de et on a

ce qui est absurde)

je réfléchis toujours sur la question 3. j'ai pas encore trouvé

[KerLannais]

Notons le rang de et notons sous forme d'une matrice par blocs


avec une matrice carrée de lignes et colonnes. On peut noter

avec la matrice que j'ai définie avant (et avec qui a lignes et colonnes)
On a alors




En particulier est symétrique positive et inversible et donc symétrique définie positive.
Si on note le vecteur des (où avec ma notation malheureuse est le vecteur des premiers )

Ce qui donne
(1)
et
(2)
On va se servir que de (1) (en fait, du fait du rang de , lorsqu'on résoud on voit que les dernières lignes du système sont inutiles puisque équivalentes à des équations qu'on a déjà, on voit aussi qu'on peut passer les composantes de comme paramètres et donc les choisir arbitrairement) qui équivaut à


On rappelle que par hypothèse sur les produits scalaires des , est une matrice dont tous les coefficients sont strictements négatifs. Si on veux que les soient tous strictement positifs il faut nécessairement que ait ses composantes strictement positives. De sorte que a nécessairement toute ses composantes strictement positives et on sait que est symétrique définie positive. Mais bon je ne pense pas qu'on puisse dire que pour n'importe quel vecteur à composante strictement positive on a

qui est à composante strictement positive comme produit d'un vecteur à composantes strictement positives par une matrice symétrique définie positive et donc je vois pas trop comment faire ...

[invite8d54258a]

L'idée était bonne, mais bon je reste dubitatif quant à la possibilité de pouvoir conclure via cette méthode. Je pense que c'est "plus simple" !

[invite8d54258a]

Bonjour, j'en reviens toujours à cet exercice non terminé. J'ai à nouveau un doute pour démontrer que .
En effet, pour cela je considère la matrice des vecteurs dans une orthonormée base . C'est donc une matrice . Elle vérifie . Donc .
Maintenant comment montre-t-on que ?

[KerLannais]

ça par contre c'est facile

Si le rang de la famille de est . Supposons que la matrice soit de rang strictement inférieur à et donc qu'il existe une relation de dépendance linéaire non triviale des premières lignes de la matrice , c-à-d en particulier que pour tout

avec les non tous nuls. On a

et donc on obtient une relation de dépendance linéaire non triviale sur les premiers ce qui est absurde. Inversement, si on suppose que le rang de est et que le rang de la famille des est strictement inférieur, on peut écrire

avec les non tous nuls. Alors pour tout

ce qui donne une relation de dépendance linéaire non triviale sur les premières lignes de la matrice ce qui est encore une fois absurde.

[invite8d54258a]

Merci.
J'avais dans l'idée d'utiliser le théorème du rang, mais pas sûr.
Je note que M est une matice de nx(n+2).

Avec le théorème du rang appliquée deux fois :



Et comme on a l'égalité des noyaux, on a aussi . Donc le résultat.

Mais dans cette histoire, ce qui me chagrine c'est la taille de la matrice M, donc je suis pas sûr de pouvoir utiliser le théorème du rang. Qu'en pensez-vous ?