géométrie d'un espace métrique

[invite8ebd7639]

Bonjour,
en relisant le géométricon de J-P. Petit, je me suis fait la réflexion suivante : le fait qu'il existe un unique plus court chemin entre deux points quelconque est-il une caractéristique des espaces R^n ? Aussi, est-il juste de l'écrire sous la forme suivante : si un espace métrique satisfait la propriété "pour tout x, pour tout y et pour tout réel k compris strictement entre 0 et d(x,y), il existe un unique z tel que d(x,z)=k et d(y,z)=d(x,y)-k", alors cet espace est homéomorphe à un R^n ?
Merci d'avance pour vos commentaires !
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[invite986312212]

je vois au moins un contre-exempe trivial en dimension 1: une courbe non fermée. Mais pour une surface je ne sais pas. Sur la sphère il y a pour presque toutes les paires de points un unique chemin le plus court, mais pour aller d'un pôle à l'autre il y a beaucoup de chemins de longueur minimale... est-ce qu'il y a des surfaces vérifiant cette propriété d'un unique chemin le plus court?

[invite8ebd7639]

Oui en fait j'aurais du dire homéomorphe à un morceau de R^n et pas forcément R^n tout entier ! Il est possible que la convexité joue un rôle aussi.

[invite986312212]

tu dois pouvoir trouver des contre-exemples avec une métrique discrète, mais j'ai un contre-exemple avec une variété différentiable de dimension 2: un cylindre auquel tu enlèves une génératrice (ou une courbe en hélice par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ebd7639]

Si on fait ce que tu dis c'est homéomorphe à une bande du plan non ?

[invite986312212]

ah je croyais que tu voulais montrer que si entre deux points quelconques il y a toujours un unique chemin le plus court alors l'espace était un (morceau d'un) R^n, et non pas seulement homéomorphe.
pour un contre-exemple trivial, tu considères un espace discret: par exemple n points du plan avec la métrique induite.

[invite8ebd7639]

Merci pour tes interventions ! Cependant ça ne me va pas trop car ça ne respecte pas l'idée de chemin continu : il faudrait que l'on puisse trouver des z tels que d(x,z) parcourt tous les réels compris entre 0 et d(x,y). Disons que le chemin doit être un homéomorphisme injectif ch de [0,1] dans E tel que ch(0)=x et ch(1)=y (en fait, on a ch(d(x,z)/d(x,y))=z).

Donc en reprenant depuis le début : je suppose que j'ai un espace métrique E tel que, pour tout x et tout y de E (différents), et pour tout t dans ]0,1[, il existe un unique z de E tel que d(x,z)=t d(x,y) et d(z,y)=(1-t) d(x,y). Est-il vrai que, à un homéomorphisme près, E est un morceau (connexe) d'un certain R^n (muni de sa topologie habituelle )?

[invite986312212]

non ça ne marche pas non plus: tu prends la réunion d'un disque du plan et d'une droite coupant ce disque: tu vas avoir la connexité par arcs, l'unicité du chemin le plus court, mais ça ne sera pas homéomorphe à une partie du plan, ni d'aucun R^n. J'ai l'impression que tu tournes autour de la définition d'une variété différentiable.

[invite8ebd7639]

Bien vu ! Et tu m'as donné l'idée de faire encore plus simple : un T (ou un X). Les histoires de variétés différentiables je n'ai jamais aimé ça et il serait bien que je m'y mette un jour...

[invite986312212]

en fait ce que j'ai écrit est débile: l'ensemble en question est bien homéomorphe à une partie du plan, puisque c'en est une. Je pensais "homéomorphe à un ouvert du plan". Je suppose que la réunion du disque du plan (x^2+y^2<=1,z=0) de R^3 et de la droite des z est un meilleur contre-exemple.