[Vocabulaire] Isomorphe et équipotent

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il y a une différence entre les termes isomorphe et équipotent. Je pensais que deux ensembles étaient dits équipotents si l'on pouvait les mettre en bijection, alors qu'ils étaient dits isomorphes dans le cas où ces ensembles, munis d'une structure algébrique particulière, pouvaient être mis en bijection, avec une bijection répondant à certaines propriétés sur les opérations dont sont munis ces ensembles (comme les isomorphismes d'anneaux, d'algèbres, d'espaces vectoriels, de groupes, etc.).

Mais j'ai trouvé récemment dans un cours d'analyse le terme isomorphe utilisé pour deux ensembles quelconques.

Donc y a-t-il une nomenclature précise ou cela dépend-il des auteurs ?

Merci d'avance
Phys2
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[Médiat]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il y a une différence entre les termes isomorphe et équipotent.

Equipotent veut dire qu'il existe une bijection entre les deux (l'existence de cette bijection induisant une relation d'équivalence appelée équipotence).
Isomorphe veut dire qu'il existe une bijection entre les deux qui "respecte" le langage utilisé (pour utiliser un abus de langage que je condamne : qui respecte la structure), il va de soi Equipotent = Isomorphe pour le langage vide (à part =).

Exemple : (Z/2Z)² et (Z/4Z) sont équipotents, mais sont-ils isomorphes ? (Attention, il y a un piège )

[Seirios]

Avant de me pencher sur l'exemple, j'aimerais savoir ce qu'on entend par respecte le langage. Qu'appelle-t-on langage ici et comment caractérise-t-on son "respect" par une application ?

[invite9a322bed]

Bonne question de la part de Phys2

Exemple : (Z/2Z)² et (Z/4Z) sont équipotents, mais sont-ils isomorphes ? (Attention, il y a un piège )

Je pense que non, car c'est pas la même nature entre les objets mis en relation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Avant de me pencher sur l'exemple, j'aimerais savoir ce qu'on entend par respecte le langage. Qu'appelle-t-on langage ici et comment caractérise-t-on son "respect" par une application ?

f est un isomorphisme entre deux structures E et F interprétant le même langage si f est une bijection et si (l'exposant précise la structure) :
Pour toutes les constantes du langage :
Pour toutes les relations du langage :

Pour toutes les fonctions du langage :

En espérant ne pas m'être pris les pieds dans le tapis en latex.

@mx6 : je répondrai un peu plus tard (suspense )

[invite7863222222222]

Bonsoir, je dirais qu'ils sont isomorphes aussi mais du coup j'ai du mal à visualiser des ensembles équipotents et non isomorphes.

[invitebe0cd90e]

Phys2> Cette terminologie est justifié dans le sens ou une bijection est un isomorphisme d'ensemble, cad une "bijection qui respecte la structure d'ensemble" en un certain sens

Bon, j'avoue, c'est une autre maniere de dire que ca depend des auteurs, parler d'isomorphisme d'ensemble c'est un langage plutot categorique, en ce sens que les "fleches" d'une categorie sont souvent appellés morphismes. Les applications ensemblistes sont les morphismes de la catégorie des ensembles.

Autrement dit, dire "bijection" ou "equipotence" suffit. Parler d'isomorphisme necessite de preciser de quelle structure on parle.

[Médiat]

parler d'isomorphisme d'ensemble c'est un langage plutot categorique

Pas uniquement, en théorie des modèles c'est parfaitement valide, mais pour le langage vide (ou ne contenant que =), ce qui n'est pas courant il est vrai.

Parler d'isomorphisme necessite de preciser de quelle structure on parle.

Là je ne suis plus tout à fait d'accord, même si c'est d'un usage courant : soit on se place dans le cadre des catégories, et il vaudrait mieux dire "nécessite de préciser de quelle catégorie on parle" (ce qui n'est pas loin, j'avoue que je chipotte), ou bien on se place dans le cadre de la logique classique et il vaut mieux dire "nécessite de préciser de quel langage on parle".

[Seirios]

Mais que désigne un langage en logique ?

[Médiat]

Mais que désigne un langage en logique ?

Vous trouverez les réponses Ici

[invitebe0cd90e]

[...] j'avoue que je chipotte[...]

Je ne te le fais pas dire, mais tu es la pour ca c'est vrai qu'il n'y a pas vraiment de definition rigoureuse de "structure" et que les categories remedient a ca, mais dans le langages usuel ce mot est quand meme employé, disons pour les "catégories bien connues"....

La notion de categorie est quand meme beaucoup plus vaste que ce qu'on met intuitivement derriere le mot structure, comme toujours l'essentiel est de se comprendre

[Seirios]

Vous trouverez les réponses Ici

Décidemment, il faudrait vraiment que je passe de temps en temps dans cette rubrique. Merci

Exemple : (Z/2Z)² et (Z/4Z) sont équipotents, mais sont-ils isomorphes ? (Attention, il y a un piège )

Je dirais qu'on ne peut pas répondre à la question puisque le langage utilisé n'est pas précisé. A moins qu'il ne soit sous-entendu ?

[Médiat]

Je dirais qu'on ne peut pas répondre à la question puisque le langage utilisé n'est pas précisé.

C'est la meilleure réponse !

La réponse de mx6 est justifiée par le fait que lorsque l'on parle de (Z/2Z)² et de (Z/4Z), c'est en général (abus de langage que je condamne, bien sur ) que l'on parle des groupes ((Z/2Z)², +) et ((Z/4Z), +), qui ne sont pas des structures isomorphes dans le langage des groupes (qui ne sont pas isomorphes dans la catégorie des groupes). C'est aussi une illustration de votre "A moins qu'il ne soit sous-entendu ?"

[Médiat]

c'est vrai qu'il n'y a pas vraiment de definition rigoureuse de "structure"

Une petite précision : Soit L un langage (en logique on part toujours de là), et E un ensemble, une structure est un couple (E, I) ou I est une "fonction d'interprétation", c'est à dire une fonction qui associe à chaque élément du langage, le "machin qui va bien" sur E.

J'ai écrit "machin qui va bien" parce que je n'ai pas le temps de tout décrire correctement, mais par exemple à un symbole de constante du langage, I associe un élément de E, à chaque symbole de relation binaire du langage, I associe un sous-ensemble de ExE, etc. ("machin qui va bien" peut être défini de façon tout à fait formelle).

[invite7863222222222]

Bonjour,

qui ne sont pas des structures isomorphes dans le langage des groupes

Où pourrait-on trouver une démonstration de ceci ?

[invitebe0cd90e]

Bonjour,
Où pourrait-on trouver une démonstration de ceci ?

L'un est un groupe cyclique et pas l'autre....

[invite7863222222222]

L'un est un groupe cyclique et pas l'autre....

Et alors ?

[Médiat]

Et alors ?

Très bonne question !

Je ne vais pas faire la démonstration complète que deux structures isomorphes sont a fortiori élémentairement équivalentes (vérifient les mêmes formules), mais je peux montrer ce qu'il en est ici.
Dans (Z/2Z)² tous les éléments vérifient x² = e (l'élément neutre), donc s'il y a un isomorphisme f de (Z/2Z)² dans (Z/4Z) pour le langage L(e, .), alors tous les éléments de (Z/4Z) peuvent s'écrire f(x) (f est une bijection) et comme f(x).f(x) = f(x.x) = f(e) = e, or ceci est faux dans (Z/4Z) (faux pour tout x, par exemple pour x = 1), donc f n'existe pas.

[invite986312212]

Médiat tu es vraiment dur avec jreeman: tu notes la loi de Z/4Z multiplicativement!
en notation additive traditionnelle, on remarque que dans Z/2Z x Z/2Z, les éléments x=(1,0) et (0,1) vérifient x+x=0 alors que dans Z/4Z il n'y a qu'un élément (2) qui vérifie cette équation.

[invite7863222222222]

or ceci est faux dans (Z/4Z) (faux pour tout x, par exemple pour x = 1), donc f n'existe pas.

Ok, je crois avoir pigé.

[invite7863222222222]

Médiat tu es vraiment dur avec jreeman: tu notes la loi de Z/4Z multiplicativement!

J'apprécie la compassion car j'ai eu mal à la tête pour comprendre mais j'y suis arrivé à peu près je pense.

Sinon ce n'est pas si génant, finalement, on peut parler de groupes aussi pour la multiplication, je dirais.

en notation additive traditionnelle, on remarque que dans Z/2Z x Z/2Z, les éléments x=(1,0) et (0,1) vérifient x+x=0 alors que dans Z/4Z il n'y a qu'un élément (2) qui vérifie cette équation.

J'ai le droit de dire que c'est difficile aussi de se dire (1,0) + (0,1) = 0 à la place de (0, 0) ?

[Médiat]

Médiat tu es vraiment dur avec jreeman: tu notes la loi de Z/4Z multiplicativement!

Ce n'était pas par dureté mais dans un but pédagogique, c'est pour cela que j'ai bien précisé le langage ; et puis parce que trouve encore plus dérangeant de noter de la même façon les opérations dans (Z/2Z)² et dans (Z/4Z). Si j'avais voulu être dur j'aurais pu noter différement l'égalité dans les deux ensembles .

J'ai le droit de dire que c'est difficile aussi de se dire (1,0) + (0,1) = 0 à la place de (0, 0) ?

Il y a une erreur, ce que veut dire ambrosio c'est que (1,0) + (1, 0) = 0 et (0,1) + (0, 1) = 0 ; cette écriture mélange le langage de la théorie (car je suppose que 0 à droite du signe égal n'est pas le 0 de IN, mais l'élément neutre de la théorie des groupe (celui que j'ai noté e)) et l'interprétation de ce langage dans le modèle et en utilisant des constantes du modèle.
On aurait pu écrire :

, et comme le . du langage s'interprète avec le + de (Z/2Z)² et la constante e s'interprète par (0, 0), ceci s'écrit finalement