L'ensemble des polynome en u isomorphe a celui des endomorphismes commutant avec u
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L'ensemble des polynome en u isomorphe a celui des endomorphismes commutant avec u



  1. #1
    invite0f472324

    L'ensemble des polynome en u isomorphe a celui des endomorphismes commutant avec u


    ------

    Bonjour à tous,
    Bon j'avoue que le titre est long mais avec l'énoncé de l'exercice vous comprendrez :
    E un C-espace vectoriel, ,on note P l'ensemble des polynômes en u et C l'ensemble des endomorphismes commutant avec u.
    Pour on dit que x est u-générateur lorsque E est le plus petit sous espace vectoriel contenant x et stable par u.
    1.Montrer que P et C sont des sous espaces vectoriels de L(E).
    2.Montrer que x est u-générateur si et seulement si
    3.Pour on note l'application de L(E) dans E telle que .
    (a) Montrer que la restriction de à P est surjective si et seulement si x est u-générateur.
    (b) Montrer que si x est u-générateur la restriction de à C est injective.
    (c) En déduire que si il existe un u-générateur alors P=C et que cet espace vectoriel est isomorphe à E .

    Bon mon problème se trouve à la dernière question il apparait que Mais l'autre implication me pose des problèmes . Donc voila si vous pouvez m'aider je vous en remercie d'avance.

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : L'ensemble des polynome en u isomorphe a celui des endomorphismes commutant avec u

    Citation Envoyé par poulecaca Voir le message
    Bon mon problème se trouve à la dernière question il apparait que Mais l'autre implication me pose des problèmes.
    Il suffit d'écrire le théorème du rang aux restrictions de à C et à P pour conclure.

  3. #3
    invite0f472324

    Re : L'ensemble des polynome en u isomorphe a celui des endomorphismes commutant avec u

    En effet ca permet de conclure merci beaucoup

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