Bonjour à tous,
Bon j'avoue que le titre est long mais avec l'énoncé de l'exercice vous comprendrez :
E un C-espace vectoriel, ,on note P l'ensemble des polynômes en u et C l'ensemble des endomorphismes commutant avec u.
Pour on dit que x est u-générateur lorsque E est le plus petit sous espace vectoriel contenant x et stable par u.
1.Montrer que P et C sont des sous espaces vectoriels de L(E).
2.Montrer que x est u-générateur si et seulement si
3.Pour on note l'application de L(E) dans E telle que .
(a) Montrer que la restriction de à P est surjective si et seulement si x est u-générateur.
(b) Montrer que si x est u-générateur la restriction de à C est injective.
(c) En déduire que si il existe un u-générateur alors P=C et que cet espace vectoriel est isomorphe à E .
Bon mon problème se trouve à la dernière question il apparait que Mais l'autre implication me pose des problèmes . Donc voila si vous pouvez m'aider je vous en remercie d'avance.
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