Etude simultanée de 3 suites

[invite09e593f7]

Bonjour à tous! Je suis en train de me perdre dans un exercice! Il faut étudier trois suites, définies par les système suivant :
Un+1 = Vn + 3Wn
Vn+1 = 1/2Un
Wn+1 = 1/3Vn
Avec les conditions initiales U0, V0, W0.

Alors en notant A la matrice correspondante à ce système, et en la diagonalisant je me ramène à l'égalité :

Ensuite je commence à perdre la route. En calculant P (matrice de passage) et son inverse, j'essai de trouver des relations simples, mais j'obtient de nouveaux systèmes infâmes!
Remarque : en calculant la limite de en l'infini, on obtient une matrice ne comportant qu'un seul 1. Mais ce que je trouve après ne m'aide pas.

Alors si quelqu'un avait une petite lanterne à m'offrir... Merci!
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[erff]

Bonjour,

Pose

et fais tous tes calculs avec cette suite, il suffira ensuite de multiplier par P pour retrouver Xn.

[invite09e593f7]

Alors ça j'avais testé, effectivement j'ai bien un système sympathique! Mais pour plus de clarté j'ai défini trois nouvelles suites
,
que je ne cherche pas à calculer. Seulement dans le terme de droite interviennent
. Est-ce que en multipliant par P je retombe sur
?

[erff]

En multipliant à gauche par P^(-1) on arrive sur :



La suite Yn est super simple à calculer...Puis une fois Yn en fonction de n connue, il suffit de faire et c'est fini !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite09e593f7]

Je suis bien d'accord, mais Yn est calculé en fonction de Y0. Et donc pour moi, en fonction de a0, b0 et c0. il en est de même pour Xn. Mais est ce que les termes constant a0, b0 et c0 peuvent être conservé lorsque vient la conclusion?

[erff]

Non, mais on s'en fout, on connait Y0 en fonction de X0 !!! donc on remonte facilement de a0,b0,c0 à u0,v0,w0