nombre de dérivation pas entier

[invitec1d9f238]

Bonjour
je me posais la question : peut on dériver une fonction un nombre réel ou meme complexe de fois?
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[inviteea028771]

Non, ça n'a pas de sens

Dériver (ou différencier) c'est créer un nouvel objet a partir du premier, c'est donc naturellement indexé sur N

J'ai d'ailleur du mal a voir a quoi pourrait correspondre une "dérivée demie"

(désolé, un peu sec comme réponse)

[invite63e767fa]

Cette question a fait l'objet de nombreuses études, surtout au 19ième siècle (et même bien avant par des précurseurs)
Sur ce sujet entre autres, les travaux des mathématiciens Riemann et Liouville sont célèbres et leurs noms restent attachés à la transformée répondant à ce problème.
Une bibliographie (sommaire) est donnée à la fin de l'article de vulgarisation : "La dérivation fractionnaire" accessible par le lien :
http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin

[breukin]

Exemples juste pour s'amuser :
Soit .
On a
Formule qui a un sens pour (presque) tout complexe.
En particulier, la dérivée -ième de est la constante .
Avec les développement en série entière, on peut alors en "déduire" plein de formules.
Exemple :

Tout ceci étant à manipuler avec précaution et surtout à ne pas employer dans n'importe quel contexte !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1d9f238]

Non, ça n'a pas de sens

Dériver (ou différencier) c'est créer un nouvel objet a partir du premier, c'est donc naturellement indexé sur N

Appliquer la fonction "puissance n" à un réel (ou n'importe quel élément qui peut être multiplié) c'est faire

x^n:=x*x*...*x
ceci n foisb

Ceci est donc naturellement indexé sur N*

pourtant on pose par convention x^0=1 (le neutre de la multiplication)

x^-n=1/x^n, puis encore x^(1/p) l'antécédent de x par la fonction x->x^p, et enfin on découvre l'exponentiel, et là on peut faire des puissances réel ou complexe.

De même pour la factorielle, on définit
n!=1*2*3*...*n, donc ceci est naturellement indexé sur N*, pourtant certaines personnes se sont intéressées à chercher une fonction vérifiant f(x)=x*f(x-1), bien régulière et tout ça tout ça... Bref, maintenant on a pu généraliser cette fonction aux complexes qui ne sont pas des entiers négatifs.

voilà pourquoi chercher en quelque sorte un morphisme PHI continu de R (ou C) vers l'ensemble des applications linéaires de fonctions très régulière (C infini?) tel que PHI(1) corresponde à la dérivation (et par récurrence PHI(n) à la dérivation itérée n fois) me semblait intéressant. (un morphisme à quel sens?, parce que la dérivation n'est pas un élément inversible)

de