Définition générale des polynôme et propriété.

[invitea0db811c]

Bonjour,

Un de mes professeurs nous a donné une définition des polynômes homogènes de degré r que je ne connaissais pas.

Soit E et F des espaces vectoriels, P une application de E dans F est dit "polynôme homogène de degré r" si il existe une application Q r-linéaire symétrique de E dans F telle que pour tout x de E, P(x) = Q(x,x,x,...,x).

Pas de problème avec la définition que je trouve assez intuitive. Les ennuis commencent quand il nous demande de montrer l'unicité de l'application r-linéaire symétrique associé à un polynôme homogène de degré r...
Alors tout d'abord cette propriété m'a semblé fausse dans le cas général, où le corps associé à l'espace vectoriel F n'est pas de caractéristique 0. Mais ayant été incapable de trouver un contre exemple avec un corps de caractéristique 2, malgré une bonne demi heure de remue méninge, je me suis finalement incliné. Mon problème est donc le suivant, malgré toute ma bonne volonté et plusieurs jours d'essais infructueux, je suis incapable de prouver cette propriété. J'ai réussi à le montrer pour le cas r=2, mais uniquement quand le corps associé à F n'est pas de caractéristique 2... (toujours le même problème -_- ).

Pour cela j'ai fait une sorte de binôme de newton, et pensais appliquer une méthode similaire pour montrer les cas où le degré est supérieur (en trifouillant à l'aide d'une récurrence sur le degré), mais sans succès...

Un peu d'aide m'aiderait beaucoup ^^

Merci d'avance.
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[invitea0db811c]

Bon, j'ai un contre exemple finalement assez simple (honte sur moi de ne pas avoir pu trouver ça avant -_-) pour le cas où le corps est de caractéristique finie:

E = (Z/2Z)² et F = Z/2Z. (e1,e2) la base canonique de E, p la projection sur <e1> et q la projection sur <e2> (tout ça dans E bien entendu).

Alors l'application f(x,y) := p(x)q(y) + q(x)p(y) est bien bilinéaire, est nulle dès que x=y, mais n'est pas toujours nul ( en prenant (0,1) et (1,0) par exemple). Donc le polynôme nul a deux application bilinéaires la définissant.

Bon, reste le cas ou le corps est de caractéristique nul... (ou différente de 2, mais je pense qu'il y'a possibilité de faire des constructions similaire dans les cas de caractéristique finie). Donc dans ce cas là, y'a t-il une astuce ou dois-je repartir dans un calcul pas forcement très élégant ?