Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique



  1. #1
    novembre031190

    paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique


    ------

    Bonjour,

    Je fais un TIPE sur les géodésiques, et j'aimerais mettre en évidence la propriété de sensibilité aux conditions initiales du mouvement géodésique sur une surface à courbure négative. Un paraboloïde hyperbolique fait l'affaire. Mais j'ai du mal avec la paramétrisation.
    Un PH peut être donné par z=(x/a)^2-(y/b)^2
    Mais comment passer de cette paramétrisation à une paramétrisation (u,v) de deux vecteurs tangents à la surface?

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    Qu'est-ce qu'une paramétrisation (u,v) de deux vecteurs tangents à la surface ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    novembre031190

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    Je maitrise pas trop la géométrie des surfaces, les plans tangents et tout ça...

    Je sais pas trop comment expliquer mon problème donc je te donne le lien d'un document pdf dans lequel on calcule la métrique d’un tore et je tente, par analogie, de trouver la métrique d'un paraboloïde hyperbolique.

    http://www.rdrop.com/~half/math/toru....geodesics.pdf

    Sur la page 1, on peut voir un tore avec deux axes de coordonnées u et v.

    Prenons un tore. Son équation cartésienne dans un repère orthonormé (O,x,y,z) est:
    x=(a+b*cos(v))*cos(u)
    y=(a+b*cos(v))*sin(u)
    z=a*sin(v)

    A partir de cette équation pn peut définir le vecteur position R(r,theta)
    R(r,theta)=(a+b*cos(v))*(cos(t heta),sin(theta),0)+b*cos(v)*( 0,0,1)

    et à partir de ce vecteur,on écrit:
    Xu= dérivée partielle de R(r,theta) par rapport à u
    Xv=dérivée partielle de R(r,theta) par rapport à v

    Xu et Xv sont, si j’ai bien compris, tangents au tore.


    Un paraboloïde hyperbolique en selle de cheval est donné,si j’ai bien compris, par :

    x=a*u
    y=b*u
    z=h*(u²-v²)
    (a,b et h sont des constantes)

    En prenant les dérivées partielles comme expliqué ci dessus, on a:

    Xu=(a,0,2*h*u)
    Xv=(0,b,-2*h*v)

    D’où une métrique représentée par une matrice diagonale :

    Ligne1, colonne 1 : a²+4*h²*u²
    Ligne1, colonne2(et ligne2,colonne1) : -4*h²*u*v
    Ligne 2, colonne2 : b²+4*h²*v²

    J’ai bon ?

  4. #4
    God's Breath

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    Oui, les calculs sont exacts.
    Mais j'ai bien peur que les géodésiques du paraboloïde hyperbolique ne soient pas calculables explicitement.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    novembre031190

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    Bonsoir et merci pour tes réponses.

    Les deux équations géodésiques sont:

    -d²u/dt²+4*b²*h²*u*((dv/dt)²-(du/dt)²) (1)

    d²v/dt²+4*a²*h²*v*((dv/dt)²-(du/dt)²) (2)


    Tu penses qu'un logiciel comme Maple ou Maxima pourrait trouver une solution approchée, ou calculer une solution pour certaines valeurs de a,b et h?Mon but est de vérifier la sensibilité aux conditions initiales.


    A part ça j'ai besoin d'une précision:

    La paramétrisation (u,v) sur un PH a bien cette forme, non?

    http://img96.imageshack.us/img96/7785/surfacedk8g.jpg

    L'origine des coordonnées (u,v) étant bien sur confondue avec l'origine des coordonnées cartésiennes (x,y,z).
    Je pense que oui mais je n'ai jamais trouvé de confirmation.

  7. #6
    God's Breath

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    On peut certainement obtenir informatiquement une solution approchée. Il faudra justifier que la sensibilité à la condition initiale provient de l'équation différentielle elle-même, et n'est pas introduite par la méthode d'approximation.

    En ce qui concerne la paramétrisation du PH, tu as
    – pour :
    – pour :
    – pour :
    On obtient bien deux paraboles sécantes à l'origine du repère utilisé.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    novembre031190

    Re : paramétrage d'un paraboloïde hyperbolique

    Je me suis trompé en recopiant les équations géodésiques plus haut... en fait c'est:

    -d²u/dt²+4*b²*h²*u*((dv/dt)²-(du/dt)²)/(4*a²*h²*v²+4*b²*h²*u²+a²*b²) (1)

    d²v/dt²+4*a²*h²*v*((dv/dt)²-(du/dt)²)/(4*a²*h²*v²+4*b²*h²*u²+a²*b²) (2)

    C'est plus lisible comme ça:
    http://yfrog.com/0dsanstitregdfqgdfj

    J'essaie d'interpréter géométriquement ces équations... et ça ne colle pas avec la solution
    Les géodésiques d'un paraboloide hyperbolique ressemblent à ça,non?

    http://www.attracteur.qc.ca/13-2002/...geodesique.gif


    Or en réfléchissant à ces équations, je ne vois pas pourquoi on aurait ces tracés là...

    Plaçons nous dans le quart du PH pour lequel u>0 et v>0.
    Imaginons que dv/dt et du/dt soient positifs, et dv/dt>du/dt
    On a alors d²u/dt>0 et d²v/dt²<0 donc la géodésique s'éloigne au contraire des courbes tracées sur le PH jaune dans l'image ci dessus.
    Et à cause des signes de ces deux accélérations, on dirait que dv/dt décroit et du/dt croit, jusqu'à ce qu'on ait dv/dt=du/dt, et là, pouf, plus d'accélération, la géodésique porusuit son chemin vers l'infini avec un vecteur vitesse dont les deux composantes ont des normes égales.
    ça ne ressemble absolument pas à ce qu'on voit...

Discussions similaires

  1. Paraboloïde hyperbolique
    Par toondek dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 30/01/2010, 00h52
  2. équation paraboloïde+patron
    Par wops dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 6
    Dernier message: 22/01/2010, 22h51
  3. [Thermique] Paramétrage d'un thermostat sur une chaudière au fioul
    Par Pierre_en_panne dans le forum Dépannage
    Réponses: 1
    Dernier message: 15/09/2008, 22h36
  4. paraboloide et deformation de calotte sherique
    Par chatelot16 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 25/03/2008, 16h39
  5. paramétrage d'un tachygraphe
    Par Dyree dans le forum Électronique
    Réponses: 0
    Dernier message: 04/05/2005, 13h32