Bonjour,
Je fais un TIPE sur les géodésiques, et j'aimerais mettre en évidence la propriété de sensibilité aux conditions initiales du mouvement géodésique sur une surface à courbure négative. Un paraboloïde hyperbolique fait l'affaire. Mais j'ai du mal avec la paramétrisation.
Un PH peut être donné par z=(x/a)^2-(y/b)^2
Mais comment passer de cette paramétrisation à une paramétrisation (u,v) de deux vecteurs tangents à la surface?
Qu'est-ce qu'une paramétrisation (u,v) de deux vecteurs tangents à la surface ?
Je maitrise pas trop la géométrie des surfaces, les plans tangents et tout ça...
Je sais pas trop comment expliquer mon problème donc je te donne le lien d'un document pdf dans lequel on calcule la métrique d’un tore et je tente, par analogie, de trouver la métrique d'un paraboloïde hyperbolique.
http://www.rdrop.com/~half/math/toru....geodesics.pdf
Sur la page 1, on peut voir un tore avec deux axes de coordonnées u et v.
Prenons un tore. Son équation cartésienne dans un repère orthonormé (O,x,y,z) est:
x=(a+b*cos(v))*cos(u)
y=(a+b*cos(v))*sin(u)
z=a*sin(v)
A partir de cette équation pn peut définir le vecteur position R(r,theta)
R(r,theta)=(a+b*cos(v))*(cos(t heta),sin(theta),0)+b*cos(v)*( 0,0,1)
et à partir de ce vecteur,on écrit:
Xu= dérivée partielle de R(r,theta) par rapport à u
Xv=dérivée partielle de R(r,theta) par rapport à v
Xu et Xv sont, si j’ai bien compris, tangents au tore.
Un paraboloïde hyperbolique en selle de cheval est donné,si j’ai bien compris, par :
x=a*u
y=b*u
z=h*(u²-v²)
(a,b et h sont des constantes)
En prenant les dérivées partielles comme expliqué ci dessus, on a:
Xu=(a,0,2*h*u)
Xv=(0,b,-2*h*v)
D’où une métrique représentée par une matrice diagonale :
Ligne1, colonne 1 : a²+4*h²*u²
Ligne1, colonne2(et ligne2,colonne1) : -4*h²*u*v
Ligne 2, colonne2 : b²+4*h²*v²
J’ai bon ?
Oui, les calculs sont exacts.
Mais j'ai bien peur que les géodésiques du paraboloïde hyperbolique ne soient pas calculables explicitement.
Bonsoir et merci pour tes réponses.
Les deux équations géodésiques sont:
-d²u/dt²+4*b²*h²*u*((dv/dt)²-(du/dt)²) (1)
d²v/dt²+4*a²*h²*v*((dv/dt)²-(du/dt)²) (2)
Tu penses qu'un logiciel comme Maple ou Maxima pourrait trouver une solution approchée, ou calculer une solution pour certaines valeurs de a,b et h?Mon but est de vérifier la sensibilité aux conditions initiales.
A part ça j'ai besoin d'une précision:
La paramétrisation (u,v) sur un PH a bien cette forme, non?
http://img96.imageshack.us/img96/7785/surfacedk8g.jpg
L'origine des coordonnées (u,v) étant bien sur confondue avec l'origine des coordonnées cartésiennes (x,y,z).
Je pense que oui mais je n'ai jamais trouvé de confirmation.
On peut certainement obtenir informatiquement une solution approchée. Il faudra justifier que la sensibilité à la condition initiale provient de l'équation différentielle elle-même, et n'est pas introduite par la méthode d'approximation.
En ce qui concerne la paramétrisation du PH, tu as
– pour:
– pour
– pour
On obtient bien deux paraboles sécantes à l'origine du repère utilisé.
Je me suis trompé en recopiant les équations géodésiques plus haut... en fait c'est:
-d²u/dt²+4*b²*h²*u*((dv/dt)²-(du/dt)²)/(4*a²*h²*v²+4*b²*h²*u²+a²*b²) (1)
d²v/dt²+4*a²*h²*v*((dv/dt)²-(du/dt)²)/(4*a²*h²*v²+4*b²*h²*u²+a²*b²) (2)
C'est plus lisible comme ça:
http://yfrog.com/0dsanstitregdfqgdfj
J'essaie d'interpréter géométriquement ces équations... et ça ne colle pas avec la solution
Les géodésiques d'un paraboloide hyperbolique ressemblent à ça,non?
http://www.attracteur.qc.ca/13-2002/...geodesique.gif
Or en réfléchissant à ces équations, je ne vois pas pourquoi on aurait ces tracés là...
Plaçons nous dans le quart du PH pour lequel u>0 et v>0.
Imaginons que dv/dt et du/dt soient positifs, et dv/dt>du/dt
On a alors d²u/dt>0 et d²v/dt²<0 donc la géodésique s'éloigne au contraire des courbes tracées sur le PH jaune dans l'image ci dessus.
Et à cause des signes de ces deux accélérations, on dirait que dv/dt décroit et du/dt croit, jusqu'à ce qu'on ait dv/dt=du/dt, et là, pouf, plus d'accélération, la géodésique porusuit son chemin vers l'infini avec un vecteur vitesse dont les deux composantes ont des normes égales.
ça ne ressemble absolument pas à ce qu'on voit...
