Dimension d'un espace vectoriel sur différents corps

**Seirios** · 04/03/2010, 13h11

Bonjour à tous,

En considérant deux corps $\text{[math]}$ , et un $\text{[math]}$ -espace vectoriel E de dimension finie, j'aimerais montrer que $\text{[math]}$ .

Mais je ne vois pas comment procéder. Auriez-vous une indication à me donner ?

Merci d'avance,
Phys2

invite986312212 · 04/03/2010, 13h24

Envoyé par Phys2

Mais je ne vois pas comment procéder. Auriez-vous une indication à me donner ?

se donner des bases des deux espaces vectoriels et construire une base pour le troisième.

**Seirios** · 04/03/2010, 15h11

Voilà ce que j'ai fait pour l'instant :

Si $\text{[math]}$ , on se donne une base de E $\text{[math]}$ et une base de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

En écrivant $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , je cherche à montrer que la base recherchée peut être $\text{[math]}$ .

Déjà, elle est génératrice : si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Mais il me reste à montrer que cette famille est libre (ce qui doit être le cas, puisque la famille est génératrice et avec le bon nombre de vecteurs) :

Soit donc les coefficients $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . On a alors $\text{[math]}$ , d'où, puisque $\text{[math]}$ forme une base : $\text{[math]}$ .

Mais je ne vois pas comment conclure à $\text{[math]}$ pour tout i, j...

invite986312212 · 04/03/2010, 17h26

c'est pas mal. mais en fait la base à considérer est juste $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 04/03/2010, 18h11

Effectivement, cela fonctionne très bien avec cette base puisqu'on peut se ramener, pour montrer l'indépendance linéaire, deux fois à des familles libres. Y avait-il moyen de terminer mon calcul sinon ?

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