groupe injectif?

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo dans lequel je dois prouver qu´un groupe G n´est pas injectif.
Question certainement profane, mais j´ose quand même: Qu´est-ce qu´un groupe injectif?

Merci d´avance

Christophe
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[invite00970985]

n'est il pas question de morphisme de groupe injectif ?

[invitebe0cd90e]

Salut Christophe,

effectivement comme ca ca sonne bizzare. Peut etre qu'en nous indiquant le contexte...

[invitee75a2d43]

n'est il pas question de morphisme de groupe injectif ?

Bon non justement, c´est ça qui m´intrigue.
Pour être plus explicite, il s´agit de l´exo suivant:
Soit G un groupe d´ordre 8918, s le nombre de 13-Sylow de G. J´ai trouvé que s ne peut donc prendre que les valeurs 1 et 14. Soit s = 14. Construire un morphisme de G dans S₁₄. Ça je l´ai pas encore fait, mais je pense qu´il faut s´inspirer du Théorème de Cayley. Et ensuite: Montrer que G n´est pas injectif.

La dernière question est: montrer que dans les deux cas (1 13-Sylow et 14 13-Sylow) G n´est pas simple. Pour s = 1 c´est clair puisque le seul 13-Sylow est distingué. Pour s = 14 je vois pas encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

VU la question precedente (qui consiste comme par hasard a construire un morphisme ), ca sent la faute de frappe, et il s'agit de toute evidence de prouver la non injectivité de ce dernier.

Au passage : pas vraiment s'inspirer du theoreme de Cayley, quoique. Mais le fait que ca soit S14 devrait t'inspirer quelque chose...

Rappelle toi que les p-Sylow sont conjugués..

La suite de la question confirme la faute de frappe. Un morphisme non trivial mais non injectif a un noyau, qui est un sous groupe distingué, et qui dans ce cas sera donc un sous groupe propre....

[invite986312212]

moi aussi ça m'a surpris puisque l'adjectif "injectif" caractérise en général une application, mais en cherchant j'ai trouvé qu'il existe une notion de "module injectif" : http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

comme un groupe abélien est un Z-module, la notion de groupe injectif doit être voisine de celle-là.

[invitee75a2d43]

Au passage : pas vraiment s'inspirer du theoreme de Cayley, quoique. Mais le fait que ca soit S14 devrait t'inspirer quelque chose...

Rappelle toi que les p-Sylow sont conjugués..

Bon ben euh.... J´ai 14 sous-groupes de Sylow d´ordre 13, qui sont donc tous conjugués... Euh... et aprés? Je donne ma langue au chat

[invitebe0cd90e]

Le truc c'est que non seulement ils sont conjugués, mais on a aussi la reciproque evidente que si H est un Sylow et , alors est encore un Sylow.

Donc G agit, opere sur l'ensemble des 13 Sylow...

[invitee75a2d43]

Le truc c'est que non seulement ils sont conjugués, mais on a aussi la reciproque evidente que si H est un Sylow et , alors est encore un Sylow.

Donc G agit, opere sur l'ensemble des 13 Sylow...

Je suppose que tu voulais dire: non?
Donc je construis ainsi une action de G sur l´ensemble X des 13-Sylow de G, cet ensemble X étant de cardinal 14. Pour tout H_i de X, tout g de G, g.H_i = gH_ig^-1. Ceci induit un morphisme de G sur S₁₄, le groupe des permutations sur {1,...,14}. Il s´agit donc de montrer que cette action n´est pas fidèle, pour ainsi montrer que le-dit morphisme n´est pas injectif. Or pour tout H_i de X et tout élément g du 13-Sylow H_i, gH_ig^-1 = H_i. Il me semble que ça suffit comme explication.

Par contre, je ne vois pas comment en déduire que G n´est pas simple. Dire que G n´est pas simple, c´est dire qu´il admet un groupe distingué. Il est clair que mes 13-Sylow ne sont pas distingués.

[invitebe0cd90e]

Non, ca ne suffit pas, pour avoir la non-fidelité de cette manière, il faut trouver un element tel que pour tous les Sylow, pas seulement pour un.

En fait, a vue d'oeil, les elements des 13 sylow ne vont pas etre dans le noyau, mais envoyés sur les 13-cycles de S14.

[invitee75a2d43]

Non, ca ne suffit pas, pour avoir la non-fidelité de cette manière, il faut trouver un element tel que pour tous les Sylow, pas seulement pour un.

En fait, a vue d'oeil, les elements des 13 sylow ne vont pas etre dans le noyau, mais envoyés sur les 13-cycles de S14.

Ah zut, merci Jobherz pour m´avoir montré cette faute. J´ai une autre idée: Il devrait suffire de montrer que le centre Z(G) de G n´est pas réduit à l´élément neutre {1} non? En effet, si b différent de 1 vérifie pour tout h de G bhb^-1 = h, alors pour chacun des sous-groupes de Sylow d´ordre 13 de G, on a bHb^-1 = H.

Or vu la décomposition du cardinal de G (8918 = 2.7³.13), G possède un élément b d´ordre 2, i.e b² = b. Le sous-groupe {1,b} est distingué car c´est le seul 2-Sylow de G. Donc prenons h quelconque dans G. hbh^-1 est dans {1,b}, c´est donc 1 ou b. Ça ne peut pas être 1 car alors b serait l´élément tneutre, on a donc hbh^-1 = b donc hb = bh pour tout h, donc b est dans le centre de G.

Je suis pas du tout sûr de moi, dîtes moi si c´est bon. Dîtes oui, je vous en supplie, dîtes oui

[invitebe0cd90e]

Tu est sur qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow ?

Si ton sous groupe etait distingué, est ce que tu crois qu'on se casserait autant la tete pour montrer que G n'est pas simple ?

[invitee75a2d43]

Tu est sur qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow ?

Si ton sous groupe etait distingué, est ce que tu crois qu'on se casserait autant la tete pour montrer que G n'est pas simple ?

Jobherz, tu es impitoyable... mais t´as encore raison... J´étais un peu parti du principe que tout nombre impair est égal à un ... pourtant j´ai bien dormi.

Bon ben je donne ma langue au chat. Est-ce que la méthode qui consiste à trouver un élément non neutre de Z(G) est au moins bonne?

[invitebe0cd90e]

Je pense que non.

En fait, par analogie avec d'autres exos du meme type, je cherchais quelque chose en regardant les cardinaux des stabilisateurs des 13-Sylow.

Mais comme souvent il y a beaucoup plus simple, on l'avait sous les yeux et j'avoue ne pas y avoir pensé tout de suite

Suppose que le morphisme est injectif. dans ce cas l'image de G par ce morphisme est un sous groupe de S14 isomorphe à G, et donc qui contient 8918 éléments.

Donc 8918 doit diviser 14!=14*13*....*2, montre que ca n'est pas possible. Attention, evidemment il ne faut pas le faire brutalement en calculant 14! regarde simplement combien de 7 apparaissent dans 14! et conclus.

[invitee75a2d43]

Oh la vache! Comment t´as eu l´idée? J´aurais pu chercher 3 semaines... Un grand merci.

Christophe

PS: t´est agrégé?

[invitebe0cd90e]

Euh, non, je suis en thèse, et en fait c'est pas compliqué, c'est meme le premier truc auquel on aurait dû penser ((et auquel tu devras penser dans pareil situation ) pour tester l'injectivité d'un morphisme.