groupe injectif?
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groupe injectif?



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    groupe injectif?


    ------

    Bonjour, j´ai un exo dans lequel je dois prouver qu´un groupe G n´est pas injectif.
    Question certainement profane, mais j´ose quand même: Qu´est-ce qu´un groupe injectif?

    Merci d´avance

    Christophe

    -----

  2. #2
    sebsheep

    Re : groupe injectif?

    n'est il pas question de morphisme de groupe injectif ?

  3. #3
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Salut Christophe,

    effectivement comme ca ca sonne bizzare. Peut etre qu'en nous indiquant le contexte...

  4. #4
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Citation Envoyé par sebsheep Voir le message
    n'est il pas question de morphisme de groupe injectif ?
    Bon non justement, c´est ça qui m´intrigue.
    Pour être plus explicite, il s´agit de l´exo suivant:
    Soit G un groupe d´ordre 8918, s le nombre de 13-Sylow de G. J´ai trouvé que s ne peut donc prendre que les valeurs 1 et 14. Soit s = 14. Construire un morphisme de G dans S14. Ça je l´ai pas encore fait, mais je pense qu´il faut s´inspirer du Théorème de Cayley. Et ensuite: Montrer que G n´est pas injectif.

    La dernière question est: montrer que dans les deux cas (1 13-Sylow et 14 13-Sylow) G n´est pas simple. Pour s = 1 c´est clair puisque le seul 13-Sylow est distingué. Pour s = 14 je vois pas encore.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    VU la question precedente (qui consiste comme par hasard a construire un morphisme ), ca sent la faute de frappe, et il s'agit de toute evidence de prouver la non injectivité de ce dernier.

    Au passage : pas vraiment s'inspirer du theoreme de Cayley, quoique. Mais le fait que ca soit S14 devrait t'inspirer quelque chose...

    Rappelle toi que les p-Sylow sont conjugués..

    La suite de la question confirme la faute de frappe. Un morphisme non trivial mais non injectif a un noyau, qui est un sous groupe distingué, et qui dans ce cas sera donc un sous groupe propre....

  7. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : groupe injectif?

    moi aussi ça m'a surpris puisque l'adjectif "injectif" caractérise en général une application, mais en cherchant j'ai trouvé qu'il existe une notion de "module injectif" : http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

    comme un groupe abélien est un Z-module, la notion de groupe injectif doit être voisine de celle-là.

  8. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message

    Au passage : pas vraiment s'inspirer du theoreme de Cayley, quoique. Mais le fait que ca soit S14 devrait t'inspirer quelque chose...

    Rappelle toi que les p-Sylow sont conjugués..
    Bon ben euh.... J´ai 14 sous-groupes de Sylow d´ordre 13, qui sont donc tous conjugués... Euh... et aprés? Je donne ma langue au chat

  9. #8
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Le truc c'est que non seulement ils sont conjugués, mais on a aussi la reciproque evidente que si H est un Sylow et , alors est encore un Sylow.

    Donc G agit, opere sur l'ensemble des 13 Sylow...

  10. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Le truc c'est que non seulement ils sont conjugués, mais on a aussi la reciproque evidente que si H est un Sylow et , alors est encore un Sylow.

    Donc G agit, opere sur l'ensemble des 13 Sylow...
    Je suppose que tu voulais dire: non?
    Donc je construis ainsi une action de G sur l´ensemble X des 13-Sylow de G, cet ensemble X étant de cardinal 14. Pour tout Hi de X, tout g de G, g.Hi = gHig-1. Ceci induit un morphisme de G sur S14, le groupe des permutations sur {1,...,14}. Il s´agit donc de montrer que cette action n´est pas fidèle, pour ainsi montrer que le-dit morphisme n´est pas injectif. Or pour tout Hi de X et tout élément g du 13-Sylow Hi, gHig-1 = Hi. Il me semble que ça suffit comme explication.

    Par contre, je ne vois pas comment en déduire que G n´est pas simple. Dire que G n´est pas simple, c´est dire qu´il admet un groupe distingué. Il est clair que mes 13-Sylow ne sont pas distingués.

  11. #10
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Non, ca ne suffit pas, pour avoir la non-fidelité de cette manière, il faut trouver un element tel que pour tous les Sylow, pas seulement pour un.

    En fait, a vue d'oeil, les elements des 13 sylow ne vont pas etre dans le noyau, mais envoyés sur les 13-cycles de S14.

  12. #11
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Non, ca ne suffit pas, pour avoir la non-fidelité de cette manière, il faut trouver un element tel que pour tous les Sylow, pas seulement pour un.

    En fait, a vue d'oeil, les elements des 13 sylow ne vont pas etre dans le noyau, mais envoyés sur les 13-cycles de S14.
    Ah zut, merci Jobherz pour m´avoir montré cette faute. J´ai une autre idée: Il devrait suffire de montrer que le centre Z(G) de G n´est pas réduit à l´élément neutre {1} non? En effet, si b différent de 1 vérifie pour tout h de G bhb-1 = h, alors pour chacun des sous-groupes de Sylow d´ordre 13 de G, on a bHb-1 = H.

    Or vu la décomposition du cardinal de G (8918 = 2.73.13), G possède un élément b d´ordre 2, i.e b2 = b. Le sous-groupe {1,b} est distingué car c´est le seul 2-Sylow de G. Donc prenons h quelconque dans G. hbh-1 est dans {1,b}, c´est donc 1 ou b. Ça ne peut pas être 1 car alors b serait l´élément tneutre, on a donc hbh-1 = b donc hb = bh pour tout h, donc b est dans le centre de G.

    Je suis pas du tout sûr de moi, dîtes moi si c´est bon. Dîtes oui, je vous en supplie, dîtes oui

  13. #12
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Tu est sur qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow ?

    Si ton sous groupe etait distingué, est ce que tu crois qu'on se casserait autant la tete pour montrer que G n'est pas simple ?

  14. #13
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Tu est sur qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow ?

    Si ton sous groupe etait distingué, est ce que tu crois qu'on se casserait autant la tete pour montrer que G n'est pas simple ?
    Jobherz, tu es impitoyable... mais t´as encore raison... J´étais un peu parti du principe que tout nombre impair est égal à un ... pourtant j´ai bien dormi.

    Bon ben je donne ma langue au chat. Est-ce que la méthode qui consiste à trouver un élément non neutre de Z(G) est au moins bonne?

  15. #14
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Je pense que non.

    En fait, par analogie avec d'autres exos du meme type, je cherchais quelque chose en regardant les cardinaux des stabilisateurs des 13-Sylow.

    Mais comme souvent il y a beaucoup plus simple, on l'avait sous les yeux et j'avoue ne pas y avoir pensé tout de suite

    Suppose que le morphisme est injectif. dans ce cas l'image de G par ce morphisme est un sous groupe de S14 isomorphe à G, et donc qui contient 8918 éléments.

    Donc 8918 doit diviser 14!=14*13*....*2, montre que ca n'est pas possible. Attention, evidemment il ne faut pas le faire brutalement en calculant 14! regarde simplement combien de 7 apparaissent dans 14! et conclus.

  16. #15
    christophe_de_Berlin

    Re : groupe injectif?

    Oh la vache! Comment t´as eu l´idée? J´aurais pu chercher 3 semaines... Un grand merci.

    Christophe

    PS: t´est agrégé?

  17. #16
    jobherzt

    Re : groupe injectif?

    Euh, non, je suis en thèse, et en fait c'est pas compliqué, c'est meme le premier truc auquel on aurait dû penser ((et auquel tu devras penser dans pareil situation ) pour tester l'injectivité d'un morphisme.

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