Spectre d'une sous-matrice symétrique

[inviteb677f08b]

Bonjour tout le monde ! J'aurais une question assez simple en fait, mais dont je n'arrive pas à trouver la réponse (ni par moi-même, ni sur Internet).

Prenons une matrice M symétrique et définie-positive (dans mon cas, c'est en fait une matrice de corrélation, donc la diagonale est remplie de 1 et de valeurs entre 0 et 1 ailleurs) et écrivons :



Ma question est la suivante : Y a-t-il un lien simple entre sp(A) et sp(M) ? Notamment à quelle condition sp(A) est inclut dans sp(M), si c'est possible ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[invitea6f35777]

Salut,

Si tu regardes le cas de la dimension 2 tu as

et (bien sûr si il y a une relation entre les spectres) alors tu as


il est facile de voir qu'il n'y a pas d'inclusion en général, ici on la seule relation possible est que la somme des valeurs propres de la matrice est le double de la valeurs propre de . C'est à dire en fait la relation sur les traces. C'est une relation que l'on a aussi dans le cas général de façon évidente

(la trace d'une matrice étant la somme de ses valeurs propres cela donne une "relation" sur les spectres)
Il me semble que le cas de la dimension 2 montre bien qu'il n'y a aucune autre espèce de relation à espérer (enfin peut-être que je me trompe) puisque on peut obtenir n'importe quels couple de spectres à la seule condition imposée par les traces (tout autre condition devrait être triviale ou équivalente ou moins forte que la condition sur les traces). Peut-être qu'en imposant que la dimension soit supérieur à un certain entier, on obtiens plus de relations mais j'en doute très fortement

[inviteb677f08b]

D'accord, donc il existe une contrainte, mais elle serait seulement donnée par la trace, donc...

En fait, cette question m'est venue en remarquant qu'on pouvait deviner la valeur propre minimale d'une matrice de corrélation en prenant simplement la valeur de corrélation maximale m et en faisant 1-m ce qui me faisait penser au fait que 1-m est valeur propre de :


D'où ma quesion... C'est probablement une sorte de coïncidence ou une règle limite uniquement.