Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 17 sur 17

Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2



  1. #1
    p.florent

    Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2


    ------

    Bonjour,

    Je voudrais calculer les vecteurs propres de la matrice
    A = [a, b ; b, c]; dans le cas général (a, b, c inconnus)

    Dans un premier temps, j'ai calculé les valeurs propres de A soit

    L = (a+c + sqrt( (a-c)² + (2b)² ) ) / 2
    L' = (a+c - sqrt( (a-c)² + (2b)² ) ) / 2

    Ensuite, je cherche à résoudre AX = LX avec X = [x, y],
    j'ai donc le système :

    x(a-L) + by =0
    bx + y(c-L) =0

    et la... je ne trouve que la solution x = 0, et y=0...

    Est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?
    Merci...

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Je ne trouve pas les mêmes valeurs propres que toi.
    Peux tu détailler ton calcul ?

  3. #3
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Bonjour,
    Merci pour votre réponse,

    Si on calcule det ( a - L I2 ), on trouve :

    det = L² - (a+c) L + ac - b²

    le discriminant vaut :
    D = (a+c)² - 4(ac-b²)

    ce que l'on peut aussi écrire D = (a-c)² + (2b)²

    L = ((a+c) + sqrt (D)) /2
    L = (a+c + sqrt( (a-c)² + (2b)² ) ) / 2


    Florent.

  4. #4
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    ............
    Ensuite, je cherche à résoudre AX = LX avec X = [x, y],
    j'ai donc le système :

    x(a-L) + by =0
    bx + y(c-L) =0

    et la... je ne trouve que la solution x = 0, et y=0...
    Non : une fois le déterminant annulé en prenant le bon (), les deux équations sont proportionnelles l'une à l'autre. Il faut donc n'en retenir qu'une donnant le rapport , ou, si on préfère, donnant en fonction de (ou l'inverse).
    Autrement dit : l'élimination de (par exemple) fournit une équation pour qui s'écrit , d'où l'on ne peut rien dire sur puisque c'est son facteur qui est (heureusement) nul.
    De toute façon, une équation aux vecteurs propres étant homogène, on ne trouve toujours les vecteurs propres qu'à un facteur près.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    ha oui mais c'est bien sûr !

    Merci bien !

  7. #6
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Me revoila

    Le document sur lequel je m'appuie propose si j'ai bien compris de multiplier ma matrice 2x2 par un vecteur normalisé pour avoir l'orientation x du vecteur propre :

    [cos(x) sin(x)] * [a, b ; b, c] * [cos(x) ; sin(x)]

    comment cela est-ce possible ? à quoi ça sert faire UTMU ?

    je trouve a*cos²x+ 2b*cosx*sinx + c*sin²x
    et apparemment cela devrait permettre de calculer x = arctan(2b / a-c)...

    Quelqu'un aurait-il la capacité de m'éclairer svp ?

    D'avance, merci !

  8. #7
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    Me revoila

    Le document sur lequel je m'appuie propose si j'ai bien compris de multiplier ma matrice 2x2 par un vecteur normalisé pour avoir l'orientation x du vecteur propre :

    [cos(x) sin(x)] * [a, b ; b, c] * [cos(x) ; sin(x)]

    comment cela est-ce possible ? à quoi ça sert faire UTMU ?

    je trouve a*cos²x+ 2b*cosx*sinx + c*sin²x
    et apparemment cela devrait permettre de calculer x = arctan(2b / a-c)...

    Quelqu'un aurait-il la capacité de m'éclairer svp ?

    D'avance, merci !
    Votre matrice étant symétrique, elle est diagonalisable par une transformation orthogonale qui, pour une matrice , est forcément de la forme :

    Il y a un signe oublié dans celle que vous écrivez... Une fois rectifié, tout doit s'arranger.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  9. #8
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Bonjour et merci pour votre réponse,

    comment faut-il faire pour diagonaliser la matrice à partir de cette transformation orthogonale ??

    J'ai essayé de faire MD = P-1MP avec P la matrice que vous donnez mais le résultat n'est pas diagonal...

    Merci d'avance !

  10. #9
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    Bonjour et merci pour votre réponse,

    comment faut-il faire pour diagonaliser la matrice à partir de cette transformation orthogonale ??

    J'ai essayé de faire MD = P-1MP avec P la matrice que vous donnez mais le résultat n'est pas diagonal...

    Merci d'avance !
    Et avec ?
    Tout dépend comment on définit , mais l'une ou l'autre des expressions DOIT fonctionner, compte tenu de l'équation fixant les deux valeurs propres
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  11. #10
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Merci pour votre réponse,

    J'ai fait les calculs pour PMP-1 mais même résultat, la matrice n'est pas diagonale...

    J'ai :


  12. #11
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    Merci pour votre réponse,

    J'ai fait les calculs pour PMP-1 mais même résultat, la matrice n'est pas diagonale...

    [/TEX]
    En prenant l'une ou l'autre des combinaisons, l'annulation de l'élément non-diagonal donne quelque chose du genre :

    ce qui fixe à des broutilles près. Cela fait, vous devez vérifier que les combinaisons linéaires correspondantes sont propres avec les valeurs propres que vous avez trouvées par ailleurs.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  13. #12
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Merci beaucoup,

    Comment faites vous pour trouver du ?

    Car en faisant ce que vous dites, je trouve :



    Ce qui est d'ailleurs ce que je trouvais avant, c'est à dire en passant par le calcul des valeurs propres, puis des vecteurs propres associés, puis de leur direction....

    Mais toujours pas le

  14. #13
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    Merci beaucoup,

    Comment faites vous pour trouver du ?

    .....................

    Mais toujours pas le
    Avec , l'élément non-diagonal en haut à droite est :
    .
    Il est nul si ...
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  15. #14
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Merci beaucoup,

    J'avais fait le calcul :

    en divisant par cos²(x) :



    Et en posant X = tan(x) on résout un polynôme du second degré

    En tout cas, merci pour l'explication, ça fait deux jours que je cherchais à savoir comment on pouvait tomber sur ce terme...

    La question que je me pose encore c'est :

    Si on trouve :

    et aussi

    à partir de la même équation,
    comment cela peut il être possible, alors que le premier donne un résultat sur et que le second donne sur ... ???

  16. #15
    Armen92

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Citation Envoyé par p.florent Voir le message
    Merci beaucoup,


    Si on trouve :

    et aussi

    à partir de la même équation,
    comment cela peut il être possible, alors que le premier donne un résultat sur et que le second donne sur ... ???
    C'est normal : chaque vecteur propre est défini à un facteur près ; si vous avez trouvé deux vecteurs propres et , les autres vecteurs et sont tout autant vecteurs propres, d'où les ambiguïtés sans importance sur l'angle de rotation.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  17. #16
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    Bonjour et merci pour vos réponses,

    Je suis bien d'accord avec ce que vous dites, mais puisque donne un angle modulo il reste 4 possibilités alors qu'avec il n'y a que deux angles possibles qui ont la même direction...

  18. #17
    p.florent

    Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique de dimension 2

    up
    merci d'avance !

Discussions similaires

  1. Valeurs propres d'une matrice de dimension 6
    Par Thwarn dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 30/06/2008, 16h02
  2. Valeurs et vecteurs propres d'une matrice 2n*2n
    Par invitea2009556 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 07/05/2008, 00h10
  3. Matrice, valeurs et vecteurs propres
    Par inviteb54ea265 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 19/04/2007, 14h48
  4. valeurs propres d'une matrice symetrique
    Par invite246b625b dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/12/2006, 21h50
  5. calcul valeurs et vecteurs propres d'une matrice
    Par invite809cae2e dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 14/10/2006, 17h53