Fonction de classe C infini à dérivée positive

[invite8d54258a]

Bonsoir,
l'objet du problème qui suit est l'étude des fonctions f de classe sur un intervalle avec et telle que .

Premiers exemples
a) et
b) et
c) et
d) et

Alors :
a) est ok
b) f n'est pas dérivable en l'origine, donc pas de classe mais je suis pas certain.
c) Je conjecture, puis démontre par récurrence que et je ne vois pas quel est son signe.
d) Je trouve que et donc on peut conclure en fonction du c).

Propriétés
Toujours dans les mêmes conditions.
a) Montrer que f admet au point a une limite
b) On prolonge alors la fonction f par continuité en a. Montrer que le prolongement ainsi obtenu est dérivable en a et que la fonction dérivée est continue en a.
c) Plus généralement, montrer que la fonction prolongée admet à tous les ordres des dérivées en a positives ou nulles.
d) Le résultat subsiste-t-il en b ?

Je n'arrive à rien dans cette partie.
Merci par avance !
-----

[Médiat]

[...]

Ia) : ok
Ib) : ok
Ic) : je n'ai pas vérifié la formule , mais et comme x est négatif ...
Id) : votre dérivée est correcte, mais est-ce que la fonction f(x) est bien positive ?

IIa) f est continue, positive et croissante sur ]a, b[, cela devrait permettre de conclure ...
IIb) Même raisonnement
IIc) La récurrence est déjà au 3/4 faite avec les question a et b
IId) Est-ce que cela marche pour la fonction définie en Ia) ?

[invite8d54258a]

Merci pour la première partie. En revanche, vous allez très vite pour la seconde et donc je ne capte pas tout

[Médiat]

Merci pour la première partie. En revanche, vous allez très vite pour la seconde et donc je ne capte pas tout

IIa) (le reste est très simple) :
Si f est continue sur ]a, b[, la limite en a existe dans IR U {-oo; +oo} (mais on ne sait rien dire de son signe)
Si f est positive la limite aussi, démonstration facile (mais on ne sait pas affirmer si cette limite est infinie ou non, il reste IR⁺ U {+oo} comme candidats
Si f est croissante, elle doit augmenter à partir de cette limite (difficile si on part de l'infini)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Si f est continue sur ]a, b[, la limite en a existe dans IR U {-oo; +oo} (mais on ne sait rien dire de son signe)

Euh... A moins que vous n'utilisiez implicitement une autre hypothèse, c'est faux (contre-exemple classique : sin(1/x) en 0). J'utiliserais plutôt :

Si f est croissante sur ]a, b[, la limite en a existe dans IR U {-oo} (mais on ne sait rien dire de son signe)

[invite8d54258a]

Pouvez-vous me démontrer votre première affirmation ?

Sinon, j'ai . Donc par passage à la limite dans l'inégalité . Donc sont possibles ou .
Il s'agit donc de prouver qu'on ne peut avoir .

Mon raisonnement est-il bon jusqu'ici ?

[invite8d54258a]

Euh... A moins que vous n'utilisiez implicitement une autre hypothèse, c'est faux (contre-exemple classique : sin(1/x) en 0). J'utiliserais plutôt :

Si f est croissante sur ]a, b[, la limite en a existe dans IR U {-oo} (mais on ne sait rien dire de son signe)

Pouvez-vous m'expliquer comment vous faites ?

[invitea0db811c]

Oui en effet , mais la réponse est évidente du coup.

Si f est croissante sur ]a,b[ et que ça limite en a vaut + l'infini, f sera infinie partout ^^ (cf post de média)

[invite8d54258a]

Cela me parait un peu simple
Peut-être Garf pourra-t-il nous préciser sa pensée

[invitea0db811c]

Il n'y a rien à préciser je t'assure. Si f n'était pas positive on aurait eu plus de travail (bien que je pense que le résultat soit vrai même si f n'est pas positive, mais que toutes ces dérivée successives le sont au sens strict) mais là je ne vois pas quoi dire de plus...

f est croissante et positive, donc si la limite en a de f vaut plus l'infini, alors pour tout t plus grand que a, on a que f(t) est plus grand que la limite de f en a, donc est plus grand que +oo, et vaut donc +oo...

[invite8d54258a]

Ok, je vois bien, mais rigoureusement c'est pas une démonstration quand même ^^
Si alors .

On se donne avec . Comme f croît sur cet intervalle .

Mais on sait que pour tout A>0, sur cet intervalle on a . Donc on peut réaliser car en prenant un B convenable on aura .

Ce qui est absurde.