Modèle trinomial. Mathématiques appliqués à la finance

[inviteb6902719]

Bonjour,

J'essaie de retrouver les coefficients ainsi que les probabilités de transition dans le modèle trinomial de Boyle. (Modèle permettant le pricing d'options)

Mon problème est le suivant

Avec les notations habituelles( u coeff up, d down, p_u, p_d, p_m les probabilités associées, S le prix de l'actif sous-jacent à t=0, r le taux sans risque, sigma la volatilité) j'ai établi ce système (en négligeant les termes en deltat^(3/2))

ud=1
u²S²p_u+S²p_m+d²S²p_d=S²sigma² *deltat
u*S*p_u+S*p_m+d*S*p_d=S*exp(r* deltat)
p_u+p_m+p_d=1

Le problème est qu'il y a 4 équations et 5 inconnus..
Comment Boyle a t'il fait pour tomber sur les probas et coeff qu'on trouve dans les livres ?
A t'il simplement posé u=exp(sigma*sqrt(2*deltat)) ? ce qui me permettrait de retrouver d et les proba, manque t'il une équation a mon système ? Dois-je considérer une équation avec le moment d'ordre 3 ?

Merci
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[inviteb6902719]

Oups.. en regardant de nouveau mon message j'ai vu que j'avais oublié un terme dans une équation !

Voilà le système :

u*d=1
u²*S²*p_u+S²*p_m+d²*S²*p_d-S*exp(2r* deltat)=S²*sigma² *deltat
u*S*p_u+S*p_m+d*S*p_d=S*exp(r* deltat)
p_u+p_m+p_d=1

la deuxième équation est ici pour le respect de la variance.. c'est mieux ainsi, mais çà ne fait pas avancer mon problème.

Merci.

[Sylvestre]

Salut,

Le problème que tu as est du au fait que le modèle trinomial n'est pas complet. Ce que tu as trouvé c'est qu'il existe plusieurs mesures risque neutre pour le modèle trinomial. Ce n'est pas une erreur.
Pour fixer le modèle trinomial, il te faut un troisième actif financier (en plus du placement à taux sans risque et de l'action), généralement une option, ce qui te donnera une équation supplémentaire.

[inviteb6902719]

Oui mais comment établir cette équation ?
Pour trouver celle-ci j'ai cherché espérance/variance sur l'arbre et je me suis placé dans l'univers risque neutre pour trouver les égalités.

Je ne vois pas comment déduire le prix d'un autre actif financier sur l'arbre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvestre]

Je ne vois pas comment déduire le prix d'un autre actif financier sur l'arbre.

On ne peut pas. C'est cela que veut dire "ne pas être complet" : l'arbre ne permet pas de déterminer le prix de n'importe quel actif, car il y a plusieurs mesures risque neutre. Ce sont les différentes solutions de tes 4 équations.

Ce que tu dois faire, c'est supposer que tu connais le prix d'un actif supplémentaire (comme une option) à tous les noeuds de l'arbre. Ce qui te donne une équation supplémentaire.

[inviteb6902719]

Je ne vois pas comment mettre cela en équation. Si je rajoute un actif, je vais forcement rajouter des inconnus et mon problème sera toujours le même..

Peux tu m'écrire l'équation que tu rajouterais en me l'expliquant rapidement ?

Merci

[Sylvestre]

Peux tu m'écrire l'équation que tu rajouterais en me l'expliquant rapidement ?

Avec joie,

Soit O, le prix de l'actif supplémentaire actuellement.
Soit O', son prix sur la branche haute de l'arbre.
Soit O'', son prix sur la branche du milieu de l'arbre.
Soit O''', son prix sur la branche basse de l'arbre.

L'équation est

[inviteb6902719]

Je l'ai déja cette équation ??

O'=uO
O''=O
O'''=dO

Je remplace, je simplifie par O et je retrouve l'équation que j'avais.. (en simplifiant la mienne par S)

[Sylvestre]

Je l'ai déja cette équation ??

O'=uO
O''=O
O'''=dO

Je remplace, je simplifie par O et je retrouve l'équation que j'avais.. (en simplifiant la mienne par S)

Pas du tout.

O est le prix d'un nouvel actif. Ce n'est pas S. Ce que tu m'écris c'est ce que vérifie S. O n'est pas de raison de vérifier ce que tu viens d'écrire. Essaie par exemple de dire que O est le prix d'un call de strike S.

[inviteb6902719]

Très bien, le prix évolue différemment de celui de l'actif S, donc les coefficients u' et d' sont différents de u et d.
J'ai rajouté 1 équation et 2 inconnues (voire 3 si m' est différent de 1) ???

[Sylvestre]

Très bien, le prix évolue différemment de celui de l'actif S, donc les coefficients u' et d' sont différents de u et d.
J'ai rajouté 1 équation et 2 inconnues (voire 3 si m' est différent de 1) ???

Désolé, mais tu ne comprends pas. Je dois probablement très mal expliquer.

O,O',O'' et O''' sont des nombres connus et donnés par le marché. Tu n'as pas à mettre de nouvelles variables u' et d'.

Cela ne peut pas sortir des données que tu as déjà. Il s'agit forcément d'une information exogène. Cette information permet de passé d'un marché incomplet (l'arbre trinomial à deux actifs : S et le placement sans risque) à un marché complet (l'arbre trinomial à trois actifs : S, O et le placement sans risque).

[inviteb6902719]

Je comprends. Mais comment prendre ces nombres O,O',O'',O'' ?
Je dois les choisir de façon à retomber sur les coefficients donné par Boyle dans le 1er modèle ?

Je n'ai pas trouvé un seul livre ou l'on parlait d'un 3eme actif pour rendre le marché complet dans ce modèle. On trouve toujours les proba et les coefficients sans justification. Sommes nous bien d'accord qu'au final les variables s'exprimeront seulement en fonction du rendement de l'actif sans risque, de la volatilité et de la durée d'un intervalle de temps ?

Merci.

[Sylvestre]

Je comprends. Mais comment prendre ces nombres O,O',O'',O'' ?
Je dois les choisir de façon à retomber sur les coefficients donné par Boyle dans le 1er modèle ?

Je ne connais pas les coefficients que Boyle a choisi. Mais ce que je sais, c'est que le choix qu'il a fait est un des choix possible parmi une infinité possible des solutions des 4 équations que tu as données.
Tu dois comprendre qu'il n'y a pas de raison de faire un arbre trinomial par rapport à un arbre binomial à moins que l'on veuille faire intervenir quelque chose de plus que ce que l'arbre binomial peut faire. Par exemple, l'arbre trinomial permet d'introduire le smile de volatilité ce que l'arbre binomial ne peut pas faire.

Je n'ai pas trouvé un seul livre ou l'on parlait d'un 3eme actif pour rendre le marché complet dans ce modèle. On trouve toujours les proba et les coefficients sans justification.

Peut-être n'es-tu tombé que sur de mauvais livres...

Sommes nous bien d'accord qu'au final les variables s'exprimeront seulement en fonction du rendement de l'actif sans risque, de la volatilité et de la durée d'un intervalle de temps ?

C'est possible, mais ce n'est pas forcé, comme j'essaie de te le faire comprendre. Il y a plus d'une solution.
C'est ce qui rend l'arbre trinomial plus flexible que le binomial en terme d'adaption au prix du marché. Par exemple, comme je le disais plus haut. Il permet d'ajuster le smile de volatilité.

[inviteb6902719]

Je comprends très bien ce que tu dis. Il y a une infinité de solutions pour les coefficients.
Boyle a donc bien posé un coefficient pour trouver les autres.. (Ou plusieurs coefficients (O,O'..) pour finalement avoir une solution.

est donc une solution mais il aurait pu en prendre pleins d'autre.. d'ailleurs il est vrai que dans d'autres modèles par arbre trinomial (Ritchken...) les coefficients sont différents, mais je pensais que cela venait d'une hypothèse différente et non d'un choix.

J'étudie le modèle trinomial car il présente un avantage sur le binomial dans le pricing d'options à barrière. De plus, je n'aime pas avoir le résultat sans explication, il fallait donc que j'éclaircisse ce point sur ce système !

Merci.

[ahkain]

Bonjour,

J'ai vraiment besoin de votre aide.
Je fais mon mémoire sur le modèle de Cox-Ross-Rubinstein et mon directeur de mémoire me demande de faire une transition vers le modèle trinomial.
Mais voilà, je ne trouve aucune source qui puisse me permettre de faire un passage du binomial au trinomial.
Quelqu'un peu me conseiller un livre qui explique comment faire ? Concernant Boyle, quelqu'un peut me dire comment il démontre p, q, m

Merci de votre aide