Petit problème : Diagonalisable ou pas ?

[invitefc60305c]

Bonjour.

Ca peut paraître assez simple, mais ça me perturbe un peu.
Si on noet la base canonique de C^5 et u un endomorphisme de C^5 défini par :
pour i = 1, . . . , 4, et
Est ce que la matrice de u dans la base canonique est diagonalisable ?

La matrice étant :

0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0

Merci beaucoup !
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[invite899aa2b3]

Si je ne dis pas de bêtise, les valeurs propres sont les racines cinquièmes de l'unité donc toutes distinctes...

[invite8d54258a]

Bonsoir, si je note A ta matrice, vérifie que et que donc est annulateur de A. Montre ensuite que c'est le polynôme minimal. Ce polynôme est scindé et à racines simples dans . La matrice est alors bien diagonalisable.

[invite34b13e1b]

Salut,
Tu peux jeter un coup d'oeil sur les matrices dites circulantes sur wiki. Ton pb est un cas particulier

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

Merci beaucoup à vous deux.
Je n'ai pas encore vu le polynôme minimal donc j'ai pas trop compris, mais c'est un genre de polynôme caractéristique ?
Sinon je peux aussi calculer ce dernier brutalement est arrivé à -X^5 + 1, qui est scindable (dans C) à zéros simples.

J'ai aussi une autre question sur un autre exercie :

Soient V un k-espace vectoriel de dimension n, E, F deux
sous-espaces vectoriels, B = (f1, . . . , fr) une base de F.
Soit p la projection de E + F sur l’espace quotient (E + F)/E.
Pour montrer que (p(f1), ... , p(fr)) génère (E+F)/E, est ce qu'on peut dire que p étant une projection, p est surjective, donc l'image de B génère l'espace d'arrivé ?
Je suis pas encore habitué aux espaces quotients (en fait j'ai presque rien compris).