Ensemble des nombres algébriques comme sous-corps

**Seirios** · 05/03/2010, 08h04

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un exercice, je dois montrer que $\text{[math]}$ est un sous-corps de $\text{[math]}$ . A une étape, il s'agit de montrer que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\text{[math]}$ , puis d'en déduire que $\text{[math]}$ .

Ce qui me dérange, c'est qu'a priori $\text{[math]}$ n'est pas un corps, ce qui serait le cas si et seulement si $\text{[math]}$ était intègre ou bien si le polynôme minimal de a était irréductible sur $\text{[math]}$ .

N'est-ce pas problématique ? (tous les résultats que l'on a montré dans l'exercice concerne des corps...)

invite58633955 · 05/03/2010, 08h22

Bonjour,
En general un sous anneau d'un anneau intègre est intègre.
Mais il est faux que Q[a] est un corps ssi il est intègre. Ce qui est vrai c'est que Q[a] est un corps ssi il est de dimension finie , ce qui est précsiement la définition d'etre algébrique.

**leon1789** · 05/03/2010, 09h02

Pour compléter.

Soit deux corps $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ algébrique sur $\text{[math]}$ .
Alors le polynôme minimal de $\text{[math]}$ est irréductible dans $\text{[math]}$ (car L est intègre).

invite986312212 · 05/03/2010, 10h57

on peut aussi demontrer directement que l'ensemble des nombres algébriques forme un corps. 0 et 1 sont algébriques, mais ensuite montrer que la somme et le quotient de deux nombres algébriques est algébriques n'est pas du tout facile si on ne connaît pas l'astuce qui va bien.
Regarde ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 10/03/2010, 15h35

Envoyé par Therodre

Mais il est faux que Q[a] est un corps ssi il est intègre.

C'est plutôt gênant, une des questions de mon exercice est de montrer que $\text{[math]}$ (avec a un élément d'une $\text{[math]}$ -algèbre, algébrique sur $\text{[math]}$ ) est un corps ssi $\text{[math]}$ est intègre ssi le polynôme minimal de a est irréductible sur $\text{[math]}$ .

Ce qui est vrai c'est que Q[a] est un corps ssi il est de dimension finie , ce qui est précsiement la définition d'etre algébrique.

Quelle est la définition exacte d'un nombre algébrique ? Dans mon sujet, on dit qu'un élément a d'une $\text{[math]}$ -algèbre est algébrique sur $\text{[math]}$ s'il existe une polynôme $\text{[math]}$ tel que a soit une de ses racines.

**thepasboss** · 10/03/2010, 15h58

Un indice pour montrer que ton bidule est de dimension finie : division euclidienne

**leon1789** · 11/03/2010, 17h02

Envoyé par Phys2

Quelle est la définition exacte d'un nombre algébrique ? Dans mon sujet, on dit qu'un élément a d'une $\text{[math]}$ -algèbre est algébrique sur $\text{[math]}$ s'il existe une polynôme $\text{[math]}$ tel que a soit une de ses racines.

Effectivement, avec cette définition (officielle) d'élément algébrique, $\text{[math]}$ est toujours de dimension finie (inférieure au degré de P). Et c'est un corps ssi $\text{[math]}$ est intègre, etc.

Par ailleurs, on dit qu'un nombre complexe algébrique sur Q est un nombre algébrique.

Ce qu'a voulu dire Therodre, je crois, c'est que si $\text{[math]}$ est un nombre complexe, alors $\text{[math]}$ est un corps ssi $\text{[math]}$ , c-a-d le nombre $\text{[math]}$ est algébrique.

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