Nombre de Mersenne

[invite3b50103a]

Bonjour a tous
Je dois faire un exercice pour lundi et je bloque un peu, le voici

Pour tout n appartennant a N, on appelle nombre de Mersenne d'ordre n et on note Mn l'entier : Mn=2^n -1
1) Montrer que si Mn est premier, alors n est premier
2)soit p un nombre entier tel que 2^p -1 soit premier. Montrer que le nombre n=2^(p-1)*(2^p -1 ) est un nombre parfait
3)Montrer que tout nombre parfait pair est de la forme 2^(p-1) * (2^p -1) où p est un nombre entier

1) j'ai raisonné par l'absurde en supposant que n n'est pas premier donc j'ai ecrit n=ab puis j'ai remplacé n dans l'expression de Mn . j'ai construit une suite Un=2^a*n de raison 2^a et j'ai essayé de montrer que 2^ab -1 avait un diviseur entier mais sans succés . Une idée ?
2)3) je ne sais pas du tout comment démarrer
Merci d'avance
Nico
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[leg]

tu vas sur Wikipedia.fr - et nombre de Mersenne tu trouveras ton bonheur

[Flyingsquirrel]

Salut,

1) j'ai raisonné par l'absurde en supposant que n n'est pas premier donc j'ai ecrit n=ab puis j'ai remplacé n dans l'expression de Mn . j'ai construit une suite Un=2^a*n de raison 2^a et j'ai essayé de montrer que 2^ab -1 avait un diviseur entier mais sans succés . Une idée ?

Sers-toi de l'identité

pour factoriser .

2)soit p un nombre entier tel que 2^p -1 soit premier. Montrer que le nombre n=2^(p-1)*(2^p -1 ) est un nombre parfait

Commence par lister les diviseurs stricts de ...

[invite3b50103a]

Comment tu prouves cette inégalité ? c'est la somme des termes d'une suite géométrique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Comment tu prouves cette inégalité ? c'est la somme des termes d'une suite géométrique ?

Oui ou alors tu développes le membre de droite :

[invite3b50103a]

Deja n est divisible par 2^(p-1) et Mp non ?

[Flyingsquirrel]

Deja n est divisible par 2^(p-1) et Mp non ?

Oui. Et quels sont les diviseurs de ? Quels sont les diviseurs de ? Peux-tu en déduire les diviseurs stricts de ?

[invite3b50103a]

Deja Mp est premier donc il n'a pas de diviseur strict. Pour 2^(p-1), il faut debattre sur les valeurs de p non ? sinon 2 est diviseur , et après je vois pas trop ...

[invite3b50103a]

Aidez moi svp c'est à rendre pour demain et je ne sais pas comment faire