Algébre linéaire et primitives.

[inviteb8d691b5]

Bonjour à tous;
je suis actuellement confronté à 3 problémes les voicis :

1) Mon cour d'algébre linéaire dit qu'un application linèaire A est injective si dim(ker(A)) = 0. Or je n'est jamais rencontrer ce cas.
Est ce que le fait que le noyau d'une application linéaire soit le vecteur nul implique que l'application est injective???

2) Toujours dans ce cour, on me donne une permutation définie par

t= 1 2 3 4 5 6 7
3 7 4 1 2 5 6
je trouve ordre (t) = 12. Puis on me demande de donner la décomposition en support disjoint de t^2009.
Mon prof m'a dit que t^2009= t^((167*12)+5)=t^5
Or je ne sais pas calculer t^5

3) Lors de la résolution d'un exercice de méca fluides je suis amené à calculer la primitives de cos²x/sinx. J'ai essayé les changement de variables t = sinx, t = cos x et t= tan(x/2), mais j'ai aussi transformé l'expression grâce aux formules d'euler sans trouver un résultat concluant...quelqu'un peut m'aider???
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[inviteaf1870ed]

pour l'intégration : cos²=1-sin², tu dois donc intégrer 1/sinx-sinx, qui s'intègre terme à terme.

[invite00970985]

Bonjour à tous;
je suis actuellement confronté à 3 problémes les voicis :

1) Mon cour d'algébre linéaire dit qu'un application linèaire A est injective si dim(ker(A)) = 0. Or je n'est jamais rencontrer ce cas.

Je suis sûr que si ! (au passage, c'est un "si et seulement si", une équivalence). Par exemple, f: x->3x. C'est bien une application linéaire injective. Quel est son noyau ?

Est ce que le fait que le noyau d'une application linéaire soit le vecteur nul implique que l'application est injective???

Oui, c'est ce que dit la propriété sus-cité ; pour une démo : supposons que kerf = {0}, et soit a,b deux vecteurs de E tels que f(a)=f(b).
donc f(a)-f(b)=0
f(a-b)=0 car f linéaire
donc a-b est dans kerf, autrement dit, a-b=0 et a=b.
Donc f est injective.
Donc f injective.

La réciproque se fait en remarquant que f(0)=0 :
si f(x)=0, alors, vu que f est injective, x=0. autrement dit kerf={0}