Bonsoir,
J'ai un petit souci sur cet exercice :
je dois montrer que P1 divise Pn et déterminer le quotient sous forme factoriser.
Je bloque complètement, je vois que exp(iteta) et exp(-iteta) sont solutions mais rigoureusement rien ne sort !
Merci poru votre aide
Dernière modification par Flyingsquirrel ; 12/03/2010 à 17h01. Motif: LaTeX
Ben, tu as fini : si exp(i théta) est racine, c'est que (x - exp(ithéta)) est en facteur et pareil pour l'autre. Leur produit c'est P1.
(il y a un n en trop dans le cos
Oui mais pour le prouver rigoureusement (si a et b sont les deux racines de p1) j'ai donc
Pn=(X-a)(X-b)Q+aX+B, j'évalue le reste en a et b (d'ailleur je n'arrive pas à montrer qu'il est nul) et puis j'en déduis Q (que je n'arrive pas à déduire non plus :/ )
Dans ton équation tu as 2 fois a qui ne veut pas dire la même chose. Ensuite tu peux remarquer que le reste est un polynôme qui s'annule pour 2 valeurs différentes de x, il est donc nul.
Ton polynôme Pn a pour variable x^n et il devient de degré 2 ; il se factorise.
Si tu écris de manière un peu sioux le quotient, tu devrais identifier un quotient qui ressemble à (1 - q^n)/(1 - q) qui devrait te rappeler de vieux souvenirs de suites géométriques.
Oui pour le reste c'est donc bon.
Simplement j'ai un peu du mal à me représenter la chose pour la factorisation!
Pouvez vous m'indiquer ?
Pose X = x^n et tu verras une équation du 2ème degré dont les racines sont exp(i n théta) et le conjugué.
Donc ça va se factoriser en [x^n - exp(i n théta)].[x^n - exp(-i n théta)]
Si tu divises par [x - exp(i théta)] tu verras apparaître le quotient (1 - q^n)/(1 - q) dont je parlais.
