petit problème

[karatekator]

Bonjour tout le monde,

J'ai un probleme de math que je n'arrive pas a résoudre,donc j'aimerais bien un peu d'aide de votre part...

Il faut déterminer les réels strictements positifs x et y tel que

x^y =y^x et x différent de y

merci d'avance.
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[invite4e5046fc]

Ce possible que pour les x vérifiant : il existe un scalaire a tq : lnx = ax , puis on résoud que cette équation ! sinon je vois pa comment!
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A1

[invite97a92052]

Bon, déjà on a x et y différents de 0... on peut donc poser y = qx, avec q réel strictement positif (et différent de 1 donc)

x et y sont positifs donc ln(x) et ln(y) existent

donc
ssi
ssi (car la fonction exponentielle est une bijection de R dans R+*)
ssi
ssi
ssi car x différent de 0
ssi
ssi (car x -> ln x est une bijection...)

Ensuite je ne sais pas, mais c'est déjà une forme d'équation plus simple je pense

[edit : on peut remarquer que pour x = 2 et q = 2 ça marche, donc {2; 4} et {4; 2} sont solutions]

[invite4e5046fc]

eh ben x=e(lnq/q-1) ....!
d'où y =...
t'as tout fait sauf ca !
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A1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

ssi (car x -> ln x est une bijection...)

Ensuite je ne sais pas, mais c'est déjà une forme d'équation plus simple je pense

Ca fait x=q^(1/(q-1)), non?
Mais je crois pas que l'équation de karatekator admette une solution générale, au pire cette solution doit être exprimable au moyen de fonctions usuelles, je penserais par exemple a du Lambertw.

[invite4e5046fc]

Je l'a connais pas celle-ci ...peux tu m'en renseigner ?

En tt cas , je suis du meme avis que toi , qu'en penses tu de la résolution de lnx=ax?
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A1

[invite97a92052]

Ca fait x=q^(1/(q-1)), non?

Oui, mais on est pas plus avancés...
En tous cas, je n'arrive pas non plus à retomber sur du lambertw...


edit pour A1 : la fonction W de lambert W(x) est telle que

[invitebf65f07b]

considère dans un premier temps le log de cette équation, en exprimant correctement les choses, il est possible de se ramener à l'étude d'une fonction...

[invitebf65f07b]

je vois que je suis pas rapide pour écrire...

bon je précise mon idée vu que je partais dans une autre direction.

en passant au log, a^b=b^a devient (lna)/a=(lnb)/b.
une étude de f(x)=(lnx)/x nous donne que f est négative sur ]0;1], positive strictement croissante sur ]1;e[ (avec f(]1;e[)=]0;1/e[ ) et positive strictement décroissante sur ]e;+oo[ ( avec f(]e;+oo[=]0;1/e[ ).

Donc pour a<b, on sait que (a,b) appartient à ]1;e[ x ]e;+oo[ et que pour chaque a, il existe un unique b.
Maintenant, ce qu'il me manque, c'est la formulation explicite de la bijection g de ]1;e[ sur ]e;+oo[ qui donne b=g(a).