trouver un équivalent

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
j'ai une fonction
f(x) = 2(1-x²)^-0,5 [arctan ((1+x)/(1-x²)^0,5-arctan ((1+x)/(x²)^0,5]
et je dois trouver un équivalent simple f(-1)
je trouve surtout que f(-1) tend vers l'infini??? mais pas d'équivalent
auriez-vous une idée?
merci
Fifrelette
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[invitef7cb9c5c]

j'ai fait des erreurs dans
f(x) = 2(1-x2)-0,5 [arctan ((1+x)/(1-x2)0,5-arctan ((1+x)/(x2)0,5]
en fait c'est
f(x) = 2 (1- x²)^-0,5[arctan [(1+x)/ (1-x²)^0,5]- arctan (x/ (1-x²)^0,5]
voilà qui est mieux

[God's Breath]

Bonjour,

Si j'ai bien compris :
.

je dois trouver un équivalent simple f(-1)
je trouve surtout que f(-1) tend vers l'infini???

Une jolie question qui ne veut rien dire, puisque la fonction n'est pas définie en .

Je traduis : on veut avoir un équivalent simple de au voisinage de.

Du coup, rien de plus simple; on pose , d'où :

et on fait un petit développement limité avec au voisinage de .

[invitef7cb9c5c]

bonjour
oui en effet j'ai manqué de rigueur en écrivant f(-1) , il s'agit bien de f(x) quand x tend vers -1
comment on fait un DL au voisisnage de 0 pour h (2h -h ²)^-0,5
c'est encore des petites choses comme ça qui me bloque
si je sais comment montrer que h (2h -h ²)^-0,5 tend vers 0 quand h tend vers 0 alors je sais que le DL de arctan h (2h -h ²)^-0,5= h (2h -h ²)^-0,5 à l'ordre 1
et 2 (2h -h ²)^-0,5 doit tendre vers l'infini qaund h tends vers 0
et enfin f(-1+h) tend vers l'infini quen h tend vers 0
est-ce qu'il y a de ça ou il y a des choses qui m'échappent
merci encore
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef7cb9c5c]

h (2h -h ²)^-0,5= 1/ [(2/h)-1]^1/2 ce qui tend bien vers 0 pour h->0
n'est-ce pas?

1/(2h -h ²)^1/2 tend vers l'infini pour h ->0

et - arctan (h-1 )(2h -h ²)^-0,5tend vers pi/2 pour h->0

la fonction tend bien vers l'infini

pour répondre à la demande de donner un équivalent simple comment dois-je rédiger cette réponse ?

est-ce sous la forme lim f(x)= +infini en x->-1?
j'ai bien des doutes une fois de plus!!
merci pour votre patience avec mes questions qui doivent vous paraitre bien comment dire "naive"
bonne journée
fifrelette

[God's Breath]

Tout simplement :

Tout dépend de l'ordre dont tu as besoin.

[invitef7cb9c5c]

si je comprends bien trouver un équivalent , ce n'est pas trouver une limite mais seulement réécrire la fonction à l'aide des développements limités appropriés
mais on me dit que je dois trouver un équivalent simple or là l'expression ne va pas être trés simple sauf ...
ah oui peut-être ça donne
f(-1+h)= [1-1/2(-h/2)+0(h)] + (2/(2h)^1/2 arctan [((2h)^-1/2)(-1+3h/4+h²/4+0(h)]
ou est-ce que je peux encore simplifier?
fifrelette

[God's Breath]

Quand on veut un équivalent, on a besoin que du premier terme non nul du développement limité, tu n'est donc pas obligé de faire des calculs aussi poussés :
suffit pour obtenir donc

De même donc et .

[invitef7cb9c5c]

merci beaucoup God's breath
avec de telles explications j'ai l'impression d'avoir tout compris
et si c'est le cas, je crois qu'il y a une petite erreur de frappe dans l'égalité qui vient après "de même"
ce n'est pas
(h-1)/ (2h-h²)^1/2= - h ^1/2/2^1/2+ 0 (h ^1/2)
mais plutôt
(h-1)/ (2h-h²)^1/2= - 1/(h^1/2 2^1/2)+ 0 (1/h ^1/2)
n'est ce pas
sinon comment trouver -pi/2 comme valeur de arctan(h-1)/ (2h-h²)^1/2???
merci encore
fifrelette

[ericcc]

On peut un peu se simplifier la vie en utilisant la formule arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b/1-ab)