Vecteurs et bases ?

[invite8a216543]

Bonjour,

j'ai posé une question à mon prof, mais sa réponse ne m'a pas convaincue.

Est-ce que si on prend un espace vectoriel de dimension finie, décrire de manière explicite l'un des vecteur nécessite forcément de le faire dans une des bases ?

Je vais prendre l'exemple de R³ pour simplifier.

La définition de R³ en terme d'ev c'est bien :



Pour moi de manière intuitive c'était l'ensemble des triplets de nombres réels.

Donc si on parle du vecteur (1,2,3) pour moi c'est le triplet composé des réels 1,2,3, sans parler d'une base quelconque ; que c'était la définition "à la source" du vecteur de cet espace vectoriel.

Mais le prof m'a dit que par exemple quand on parle du triplet (x,y,z) dans la définition de l'ev R³, c'était les coordonnées exprimées dans la base canonique.

Et là je comprends pas.

Pour moi on pouvait exprimer un vecteur de manière "directe".

Merci.
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[invite6f25a1fe]

Que veux-tu dire par "directe". Un vecteur V dans un espace ne peut être décrit par ses coordonnées uniquement si on a défini préalablement un repère (base) dans cet espace.

Pour mieux comprendre, dans R² on peut parler du vecteur (1, 1). Quel est ce vecteur si tu ne parles pas de la base. En coordonnées cartésiennes ou polaires, ce n'est pas du tout le même vecteur. Pourtant, dans les 2 cas on le décrit comme un duplet de réels (1, 1).

On a tendance à oublier de mentionner la base lorsqu'il s'agit de base canonique, comme les coordonnées cartésiennes dans R² ou .

[invite8a216543]

Pour moi le vecteur (1,1) était le vecteur représente par le doublet de nombres réel 1 et 1 (c'était sa définition). Et un vecteur pouvait avoir pour coordonnées 1 et 1 dans une base donnée, sans pour autant que ce soit le vecteur (1,1).

Ce que je comprends pas c'est comment on arrive à définir les vecteurs de la base canonique alors (ou d'une base quelconque).

Si on doit forcément décrire un vecteur en fonction d'une base, les vecteur de la base sont décrit par quelle base ?

Si on prend la base canonique de R² :

que répresentent et ?

Quel est le sens du 1 et du 0 dans ces écritures ?

[invite8a216543]

Par exemple sur wiki, Kⁿ est défini comme ça :

Pour tout entier naturel strictement positif n, l'ensemble des n-uplets d'éléments de forme un espace vectoriel de dimension n sur appelé l'espace des n-uplets, noté

Et dans cette définition aucune notion de base n'est donné.

est un élément de cet ev, et aucune base n'est utilisée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a216543]

Par exemple sur wiki, Kⁿ est défini comme ça :



Et dans cette définition aucune notion de base n'est donné.

est un élément de cet ev, et aucune base n'est utilisée.

Je repose ma question, si par hasard quelqu'un pouvait me répondre.

Merci

[inviteaf1870ed]

Par exemple sur wiki, Kⁿ est défini comme ça :



Et dans cette définition aucune notion de base n'est donné.

est un élément de cet ev, et aucune base n'est utilisée.

La base canonique est implicite dans cet exemple

[invite57a1e779]

Bonjour tjou,

Tu as tout à fait raison : le vecteur (1,2) de R² est défini intrinsèquement, sans faire référence à aucune base.

La base canonique est constituée des vecteurs (1,0) et (1,0). Alors le vecteur (1,2) admet pour coordonnées (1,2) dans la base canonique.

Les vecteurs (0,1) et (1,1) constituent une autre base de R² ; dans cette base, le vecteur (1,2) est de coordonnées (1,1).

[invite8a216543]

EDIT : J'ai l'impression d'entendre deux choses différentes du coup.

De toute façon je vais voir ça avec mon prof demain, merci.