logique - calcul propositionnel

[invitee5cef7b8]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un petit coup de main sur un exercice de logique propositionnel,
il s'agit de phrases à traduire en prédicats (calcul propositionnel) :

"Si tous les hommes sont mortels, alors tous les hommes noirs sont mortels ":
voici ce que j'ai trouvé :

domaine : les êtres humains, H = hommes, M = être mortel, n = noir

∀x H(x) ∧ M(x) ⇒ ∀ H(n) M(x)

voilà ce que j'ai trouvé mais la partie "alors tous les hommes noirs sont mortels" ne me satisfait pas, et mon cour sur cette partie ne contient aucun exemple...

est-ce que vous pourriez me donner quelques conseils ?

merci

Gaëlle
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Avec tes notations, j'aurais dit :

.

[Médiat]

Bonjour

"Si tous les hommes sont mortels, alors tous les hommes noirs sont mortels ":
voici ce que j'ai trouvé :

domaine : les êtres humains, H = hommes, M = être mortel, n = noir

∀x H(x) ∧ M(x) ⇒ ∀ H(n) M(x)

Quand vous dites que le domaine = "Les êtres humains", est-ce une façon de dire que toutes les variables appartienent à ce domaine, ce qui évite de le préciser dans la formule (si oui le prédicat "Homme" n'a pas beaucoup d'intérêt, puisque la formule ∀x H(x) est tautologiquement vraie et n'apporte rien?

La partie ∀x H(x) ∧ M(x) manque de parenthèse.

Vous définissez "Homme" comme un prédicat, "Mortel" aussi, mais pourquoi ne pas faire de même pour "Noir" ?

La phrase "Tous les hommes sont mortels" se traduit mieux par :
Si la notion de domaine n'est pas pertinente : ∀x (H(x) ⇒ M(x))
Si la notion de domaine est pertinente, le prédicat "Homme" étant inutile, cela devient : ∀x (M(x))

[Médiat]

Avec tes notations, j'aurais dit

Si tu dis tout à la première réponse ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee5cef7b8]

merci pour toutes vos réponses.
Il s'agit du domaine dans lequel on prends les variables d'individus. expliquer dans quelle domaine on travaille.

J'ai surtout un problème avec "tous les hommes noirs", est-ce que je peux mettre
∀x N(x) pour traduire cette phrase?
(d'emblé j'aurais mis "noir" dans la catégorie variable , donc plutôt écrit (n)). Dans l'énoncé, il parle du prédicat H pour hommes, je pense que je dois le garder, mais c'est vrai que j'en vois plus trop l'interêt...
x = les êtres humains, H = les Hommes, M = être mortel, N = être noir
si je reprends :
∀x [H(x) ∧ M(x)] ⇒ [∀ N(x) ⇒ M(x)]
ou
∀x (M(x)) ⇒ [∀ N(x) ⇒ M(x)]

j'ai repris l'exercice à l'aide de vos messages, je pense que c'est un peu mieux, qu'en pensez-vous?

merci

[Médiat]

∀x (M(x)) ⇒ [∀ N(x) ⇒ M(x)]

Cette réponse est correcte si on lui ajoute des parenthèses .

(∀x M(x)) ⇒ [∀x (N(x) ⇒ M(x))]

C'est d'ailleurs la solution donnée par God's Breath en enlevant le prédicat H.

PS : comment faites-vous pour insérer des caractères unicode, je ne sais le faire qu'avec un copié-collé ?

[Médiat]

(d'emblé j'aurais mis "noir" dans la catégorie variable

Une variable est un symbole qui peut représenter n'importe quel élément appartenant au domaine.

x = les êtres humains, H = les Hommes, M = être mortel, N = être noir

Il vaudrait mieux écrire :
x : parcourt (ou appartient) le domaine (les êtres humains)
H = "Etre un homme"

[invitee5cef7b8]

Je fais un copier-coller pour insérer les caractères-non unicodes (après peut être dans le navigateur internet, insertion de caractères spéciaux, mais étant sous Firefox, je n'ai pas ça dans la barre d'outil).

merci beaucoup car je comprend beaucoup mieux maintenant

Une dernière petite question, pour les prédicats d'arité Zéro , par exemple,"il neige", je définis le prédicat N = neiger, on peut écrire N(x) , par contre je ne vois pas trop comment traduire "Il"... je ne trouve pas trop de cours avec des exemples , je vais encore chercher.

merci !

[Médiat]

Je fais un copier-coller pour insérer les caractères-non unicodes

Merci.

Une dernière petite question, pour les prédicats d'arité Zéro , par exemple,"il neige", je définis le prédicat N = neiger, on peut écrire N(x) , par contre je ne vois pas trop comment traduire "Il"... je ne trouve pas trop de cours avec des exemples , je vais encore chercher.

Un prédicat d'arité 0 est une constante, donc un élément du domaine ; dans l'exemple précédent quand vous écrivez N(x), cela veut dire que la variable x est un élément du domaine. Pour traduire ce N par "il neige", il faudrait ajouter quelque chose, par exemple :
Domaine = Les stations de ski des Alpes
N(x) = il neige dans la station x (avec une difficulté dans la définition du moment où il neige)

[invitee5cef7b8]

merci pour ta réponse, j'ai bien compris.

Pour traduire les phrases impersonnelles (précision de l'énoncé) , ça marche aussi?
"il neige", on peut vouloir dire aussi "ici et maintenant", c'est correcte de mettre ceci en domaine?

merci

[Médiat]

Pour traduire les phrases impersonnelles (précision de l'énoncé) , ça marche aussi?
"il neige", on peut vouloir dire aussi "ici et maintenant", c'est correcte de mettre ceci en domaine?

Un domaine est l'univers (l'ensemble, la collection, la classe, ça dépend un peu du vocabulaire) dans lequel se promène les variables et les constantes du langage.
Si "Ici et maintenant" doit être un élément d'un domaine, c'est sans doute que le domaine est un ensemble de lieu et de temps, ce qui est mal géré par la logique classique, par contre il existe des logiques temporelles (logiques modales) qui permettent de le faire.
Ici je suppose qu'il s'agit plutôt de calcul des propositions (sans quantificateurs ni variable à part les propositions elles-mêmes). Dans ce cas "Il neige" est une simple proposition (à condition de la comprendre effectivement comme "Il neige ici et maintenant", par exemple. La proposition "Si il neige (sous-entendu : à Moscou cet hiver), alors je mets un manteau chaud (sous-entendu au Bahamas cet été)" est complètement idiote).

[invitee5cef7b8]

d'accord, merci beaucoup pour votre aide.

[invitee5cef7b8]

bonsoir,
c'est encore moins, j'ai compris maintenant mais je bute sur un autre exo :
c'est pour traduire "plus grand que", on utilise le symbole mathématique ou il faut reformuler la phrase ? j'ai crée un prédicat Grand. ("les chiens noirs sont plus grands que les autres chiens")
x = chiens, B = être noirs, G = être grand

j'ai du mal à traduire "plus ... que", il existe un signe en logique peut être ?

merci

[Médiat]

bonsoir,
c'est encore moins, j'ai compris maintenant mais je bute sur un autre exo :
c'est pour traduire "plus grand que", on utilise le symbole mathématique ou il faut reformuler la phrase ? j'ai crée un prédicat Grand. ("les chiens noirs sont plus grands que les autres chiens")
x = chiens, B = être noirs, G = être grand

j'ai du mal à traduire "plus ... que", il existe un signe en logique peut être ?

Bonsoir,
"Etre grand" est un prédicat unaire, il ne permet pas de définir des comparaisons, mais seulement deux sous-ensembles du domaine (les grands et les pas grands), de la même façon que "Etre noir" (les noirs et les pas noirs).

Pour exprimer une comparaison entre éléments du domaine, il faut un symbole de relation binaire comme G(x, y) dont la sémantique est bien sur, "x est plus grand que y", ce qui peut s'écrire, en réutilisant un symbole bien connu, x > y.