Fonction réciproque de x^x

[Elie520]

Bonjour. Avant tout, j'ai posté cette question dans le cadres des "études supérieures"... Pourtant, je pense bien que le type de fonction dont il va s'agir ne nécessite pas de telles connaissances, mais le problème qui en découle peut-être.... Je ne suis donc pas sur d'être au bon endroit, mais en m'en veuillez pas S.V.P.

Donc, avec un ami, on s'intéressait par simple curiosité à la fonction suivante:
Pour tout x>0, (oui strictement puisque le topic sur 0⁰ débat de l'existance de ce nombre, je ne l'ai pas admise ici ) f(x)=x^x
On peut aisément trouver la dérivée qui est : f'(x)=[ln(x)+1].x^x
Nous voulons maintenant nous intéresser à la réciproque de la fonction f. À commencer par son domaine de définition.
On sait f'(x)=[ln(x)+1].x^x. Or pour tout x>0, x^x>0. Donc f'(x) est du signe de [ln(x)+1].
Ainsi, on trouve que f^-1 est définie pour tout x>e^-1.
Le problème reste donc d'exprimer f^-1(x) en fonction de x.
Partons de :
y^y=x
Donc f^-1(x)=y=x^1/y
Or on veut une expression en fonction de x. Remplacons donc y par son expression. On a alors :
f^-1(x)=x^{1/x1/x1/x1/x...} ad vitam eternam !

Vous l'avez donc compris, si je fais appel à vous, c'est pour vous demander s'il y aurait une expression fonctionnelle de
f^-1

Le mathématicien débutant que je suis actuellement attend vos réponses avec impatience !
Merci !!!
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[invite9a322bed]

Je ne pense pas que toute application bijective admet une réciproque exprimable à l'aide d'outils classiques. Par exemple, pour tan on a du introduire arctan ect... dont on connais que la dérivée et les valeurs prises, sans en connaitre l'expression, le même problème avec cos(x), y a pas une expression dépendant de x.. Je ne suis pas un mathématicien, mais à mon avis, tu ne trouveras pas d'expression simple, mais juste des approximations comme la formule que t'as présenté et qu'on retrouve naturellement.

[Elie520]

Ben on a bien cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2 non ?
Puis tu parles de tan et arctan, mais c normal qu'on ait du introduire arctan puisque on a introduit tan ^^ comme l'introduction du logarithme népérien a entrainé l'introduction de la fonction exponentielle.
Tu as peut-être raison, mais voici ma vision des choses

[invitec7c23c92]

Effectivement on n'a pas d'expression n'utilisant que les fonctions classiques, +, *, -, /, exp ou ln.

En revanche on peut obtenir une expression si, par exemple, on se sert de la fonction W de Lambert (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert )

f^(-1)(x) = exp ( W ( ln(x) ) ) si je ne me suis pas planté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1228b4d5]

bonsoir
j'ai demandé à Maple de résoudre et il me donne
ln(y)/LambertW(ln(y))

et, Lambert(W) est la fonction qui satisfait f(x) * exp(f(x)) = x .

Donc, exprimable simplement ... j'ai des doutes

En général, on ne connait pas d'expression en fonction usuelle des fonctions réciproques.

[Elie520]

Ah, c'est marrant, merci pour vos réponse.
Voici en fait ma vision des choses à la base:
Quand on introduit une application dans le groupe R muni de l'addition et de la multiplication, je pensais qu'automatiquement, nommons t cette application, si nous avions f(x)=t(x) je pensais alors pour la réciproque de f, qu'il fallait obligatoirement introduire une nouvelle application t^-1. Je m'explique à travers des exemples.
Quand on a introduit la fonction logarithme par exemple, il a fallut introduire la fonction exponentielle pour trouver la réciproque.
De même pour cos/arccos, sin/arcsin, xⁿ/racine n-ième (avant davoir l'extension des puissances à tous les réels pour x positif) etc...

Du coup, quand des mathématiciens ont introduit la fonction W de Lambert, je pensais qu'alors sa réciproque serait une nouvelle fonction. Or par définition, la réciproque de celle-ci est la fonction f définie par f(w) = we^w... Ainsi, cela me perturbe encore que la réciproque d'une fonction qui ne s'exprime pas à l'aide des applications connues puisse être une fonction qui s'exprime à l'aide d'applications connues, je ne sais pas si quelqu'un me comprend...

[invite9a322bed]

Tu m'as écrit la fonction cos en fonction des complexes, mais sache qu'on ne sait pas tracer des fonctions complexes !

[Elie520]

J'avoue là j'ai arnaqué, je m'en suis rendu compte quand je l'ai écrit

[invite57a1e779]

Du coup, quand des mathématiciens ont introduit la fonction W de Lambert, je pensais qu'alors sa réciproque serait une nouvelle fonction.

Tu raisonnes à l'envers. Connaissant l'exponentielle, les mathématiciens ont naturellement été amenés à considérer la fonction , et lorsqu'ils ont eu besoin d'utiliser sa fonction réciproque, ils l'ont appelée W. Ce qui ne veut pas forcément dire qu'elle ne s'exprime pas à l'aide de fonctions plus simples, on utilise bien la fonction tangente, les fonctions hyperboliques...

[Elie520]

Je vois, mais je me suis mal exprimé. J'ai raisonné à l'envers exprès en me disant que de mon point de vue dont je vous ai fait part, on devrait pouvoir faire le raisonnement dans les deux sens.
Ainsi, j'aurais du dire que je pensais que la réciproque d'une fonction définie à l'aide des applications connues ne nécessitait pas l'introduction d'une nouvelle fonction (type W de Lambert).

[Elie520]

Et du coup tout le monde... la réciproque de f(x)=x^x n'est donc pas traçable à la calculatrice ?

[invitec7c23c92]

Oh si, elle est traçable. Ce n'est pas parce qu'une fonction ne s'exprime pas à l'aide de fonctions usuelles qu'elle n'a pas de représentation graphique.

[invite9a322bed]

Elle est tracable celle là, tu peux voir sur une calculette, ou bien sur Maple, mais disons que même le calculatrice bug un peu, car dans x<0, on voit des discontinuité alors qu'elle ne doit être même pas définie !
Juste pour préciser un truc que j'ai dit :
Les fonctions définie de R dans C peuvent être tracé dans un plan complexe, mais je n'ai jamais vu de logiciel pouvant faire celà. Les fonctions qu'on peut pas tracer sont ceux de C dans C. (sauf erreur de ma part, peut être quelqu'un peut il confirmer )

[g_h]

Les fonctions qu'on peut pas tracer sont ceux de C dans C. (sauf erreur de ma part, peut être quelqu'un peut il confirmer )

Ca dépend ce qu'on appelle tracer ! Rien ne nous empêche de faire 2 graphes pour la représenter complètement : par exemple, un pour le module, un pour l'argument.
Ou encore, un pour la partie réelle, un pour la partie imaginaire

D'ailleurs, sur mathworld ils font ça de façon très jolie :
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

[inviteaf48d29f]

Ou alors on fait un graphe à 4 dimensions. C'est effectivement un tracé et ça ne pose pas de problème à un ordinateur. Bon après, ça n'est pas pratique pour nous humbles mortels.

[invitec317278e]

Les fonctions définie de R dans C peuvent être tracé dans un plan complexe, mais je n'ai jamais vu de logiciel pouvant faire celà. Les fonctions qu'on peut pas tracer sont ceux de C dans C. (sauf erreur de ma part, peut être quelqu'un peut il confirmer )

N'importe quel logiciel intégrant du tracé 3D permet de tracer une courbe allant de R vers C, a priori.

Et pour les graphes 3D, en plus de ce qu'a énoncé g_h, on peut penser à tracer un graphe animé, dont le temps serait la quatrième dimension.

[Elie520]

Juste pour info mx6, il me semble que les discontinuités pour x<0 sont tout à fait justifiées ===> (-2)^-2=1/(-2)²=1/4. Par exemple. Elle est en fait définie pour tous les entiers (hormis zéro bien sur).

Et quand je disais qu'elle n'était pas traçable, je sous entendais à la calculette n'ayant pas la fonction de Lambert dans son programme. Elle a forcément une représentation graphique. C'est comme la fonction f(x)=e^x², elle ne s'intègre pas avec les fonction connues, cependant, son intégrale de a à b a tout de même une valeur ^^