Bonjour,
J'étudie actuellement les polynômes orthogonaux et je suis tombé sur cette phrase que je ne comprends pas:
"Un ensemble de polygones orthogonaux associés à une distribution binomiale"
Cela veut-il dire que l'indéterminée suit une loi binomiale? Autrement dit qu'elle ne prend généralement que deux valeur possible (ex: X=0 ou X=1 et avec une densité de probabilité commune à tous les polynômes)?
ça signifie que l'intégrale est à prendre par rapport à la mesure binomiale (c'est donc une somme plus qu'une intégrale).
Désolé je n'ai pas compris votre réponseEnvoyé par ambrosio
Salut !
La loi binomial est une variable discrète, mais pas forcement à valeur dans {0,1} : ca c'est la loi de Bernoulli.
la loi binomial c'est la somme de n loi de bernoulli, genre c'est une variable qui prendre les valeur {0,...,n} avec P(k)=p^k*(1-p)^(n-k) * (k parmi n)
les polynomes orthogonaux associé à cette distribution, sont les polynome orthogonaux pour le produit scalaire :
<P|Q> = somme pour k de 0 à n de p^k*(1-p)^(n-k) * (k parmi n) * P(k)Q(k)
la ou c'est un peu bizarde, c'est que comme la mesure binomial est à support fini, ce truc n'est pasun produit scalaire... et j'avoue que j'ai jammais vu ca ! mais j'imagine que là ou tu l'a vu on ce restreint aux polynome de degrée <n, pour avoir un vrai produit scalaire...
ben la notion de polynômes orthogonaux est liée à celle d'un produit scalaire entre polynômes, en général donné par une intégrale:où
Dernière modification par invite986312212 ; 22/03/2010 à 13h22. Motif: erreur dans la formule
je n'avais pas vu la réponse de Ksilver. Il a raison, l'expression en question n'est pas un produit scalaire (pas défini positif). Je viens de regarder la définition des polynômes de Krawchouk, en fait c'est bien une intégrale qui est calculée, la mesure a pour densité
Salut Ksilver et Ambrosio !
Franchement vous ne savez pas le bonheur que c'est de commencer à comprendre grace à vos message !!!
Déjà merci pour le petit rappel très clair entre la loi de Bernoulli et la loi binomiale et les précisions sur les polynômes de Krawtchouk.
Pour répondre à ta question Ksilver: oui le degré des polynômes considéré est inférieur ou égal à n
A mon tour de faire un petit rappel pour voir si on est d'accord:
Deux polynômes P et Q d'une une série de polynôme orthogonaux on un produit scalaire nul <P|Q>=0, autrement dit l'intégrale sur le produit/la convolution des fonctions de P et Q est égal à 0
<P|Q>=\int P(k)*Q(k) dk= 0
Maintenant revenons au problème, on entend par
"Un ensemble de polynômes orthogonaux associés à une distribution binomiale"
Associer une distribution à suite de polynôme orthogonale revient à utiliser la fonction de densité de probabilité comme "mesure" (dk) dans le produit scalaire, sachant que cette loi est à support fini alors l'intégral se transforme en somme on obtient donc:
<P|Q>=\sum_{k=0}^{\infty} P(k)*Q(k)*({n \choose k} \, p^k q^{n-k})
mais alors je me pose de nouvelles questions :
-avec le changement de mesure le produit de deux polynômes fois la fonction de densité est toujours égal à 0? pour mois ce n'est pas évident et cela est liée à mon interprétation...
-qu'est ce que signifie le changement de mesure dans cette intégrale? J’interprète cela de manière géométrique:
sans considérer la distribution binomiale, le produit scalaire nul revient à dire que la fonction résultante du produit/de la convolution des fonction p(k)*q(k) a une surface au-dessus de l'axe des abscisses égal à celle en dessous.
Maintenant, si l'on considère la fonction de densité alors cela revient à pondérer la courbe résultante p(k)*q(k), vue précédemment, et dans le cas d'une loi binomiale cela revient à attribuer un poids fort aux air qui se trouve autour de "nombre de répétition*proba de succès".
-qu'est ce que signifie ""Un ensemble de polynômes orthogonaux associés à une distribution binomiale" en particulier pour un polygone de la suite?
Merci encore pour votre aide !
petite précision: l'intégrale du produit n'est pas le produit de convolution.
Merci Ambrosio (dans mes souvenirs de terminal, je croyais, par erreur ,qu'on utilisait simplement le terme convolution pour exprimer le produit de deux fonctions).
Maintenant, je comprends un peu mieux ta première réponse. Pour la suite, tu as peut-êtres des éléments de réponses à mon précédent message?
