Integrale...

[invitea0075240]

Bonjour!

J'ai commencé une belle integrale... Je suis partit de

integrer (1/ (cos⁴(x) + sin⁴(x)) de 0 à PI/2

après avoir trifouillé, je suis arrivé à

integrale de ( (1+tg²(x) / ( cos²(x)(1+tg⁴(x) ) de 0 à PI/2

puis, changement de variable s=tg(x),

BREF, je ne sais pas comment integrer (1+s²)/(1+s⁴) de 0 à +inf

-->division euclidienne? me retrouve avec des truc moches..
-->splitter en 1/(1+x⁴) + x²/(1+x⁴) --> je sais déjà pas si on peux utiliser les formules pour 1/(1+t²) avec t=x² facilement...
-->repasser par une substitution? je veux bien mais.. je sais pas laquelle...
-->Par parties? ça n'avancerait pas la chose non?

Quel'qu'un aurait il une idée?? j'ai l'impression qu'à ce moment, il y a un truc tout simple, du coup, j'ai de me perdre dans des calculs en faisant fausse route...
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[invite7c37b5cb]

Bonjour.
J'ai deux expression pour (cosx)^4 et (sinx)^4:

(sinx)^4=(1/8)*[3-4cos(2x)+cos(4x)]

(cosx)^4=(1/8)*[3+4cos(2x)+cos(4x)]

Ça donne (2/3)*int dx/cos(4x)=(1/6)*int d(4x)/cos(4x)=

v=4x; tg(v/2)=t;

=(1/6)*int dv/v=(1/3)*int dt/(1-t²)

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié les calculs,ni même essayé de développer, mais en repartant de


et en posant ,

ressemble vachement à la dérivée de et à la dérivée d'un polynôme sur le polynôme en question, à une constante près.

Bon courage!

[invitea0075240]

Bonjour,

(sinx)^4=(1/8)*[3-4cos(2x)+cos(4x)]

(cosx)^4=(1/8)*[3+4cos(2x)+cos(4x)]

Ça donne (2/3)*int dx/cos(4x)=(1/6)*int d(4x)/cos(4x)=

mmmh... je vois pas comment vous êtes arrivé à (2/3)*int dx/cos(4x)

je pars de 1/ ( (cos(x)^4) + (sin(x)^4) )

et en posant ,

ressemble vachement à la dérivée de et à la dérivée d'un polynôme sur le polynôme en question, à une constante près.

le problème, si je fais la substition je dois substituer le dx aussi..
si t=x^2 , dt=2x*dx Donc dx = dt/2x = dt/(2sqrt(t))
....
du coup, je me retrouve avec une racine de t dans mes deux fractions, et cela ne simplifie pas le problème finalement...

int dx
=
int dt

Me trompe-je? :-/

...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0075240]

EDIT


int dx
=
int dt

Deux ou trois fautes de frappes corrigées.. :-/

[invitea0075240]

woaw...

elle emène loin...

juste pour dire que c'est tout bon. Pas le temps de tout mettre... Mais si quel'qu voudrait toute la démarche, je pourrais prendre le temps de l'écrire... (ou l'envoyer par mail)

WolframAlpha a beacoup aidé... ya une fonctionnalité: montrer les étapes.. pour les comprendre, ben.. yavait un pti momment quand même..

Bref, merci encore!