Matrice, erreur de l'énoncé ?

[invite323995a2]

Soit un+3 = 6un+2 − 12un+1 + 8un}. On pose pour tout n appartenant à N
(un+2)
Un=(un+1)
(un )


1. Déterminer une matrice A telle que Un+1= AUn
Je trouve
......(6 -12 8)
A= (1 0 0) Juste?
......(0 1 0)

2. Soit

P= (4 4 1)
(2 1 0)
(1 0 0)

Je trouve P-1 = (0 0 1)
........................(0 1 -2)
........................(1 -4 4)
Juste?

3. Calculer B= P-1AP

Je trouve
B= (2 1 0)
......(0 2 1) Juste?
......(0 0 2)

Merci beaucoup
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[Seirios]

Bonjour,

Pour moi, tes réponses sont correctes.

[invite323995a2]

Non mais j'étais super douteux parce qu'àprès on me demande de calculer B^n . Or en calculant B^1, B^2 et B^3 je ne trouve aucune généralisation possible pour B^n . Tu sais comment je pourrais m'y prendre par hasard? Merci

[Seirios]

Une idée qui sert assez souvent : écrire ta matrice comme une combinaison linéaire de l'identité et d'une matrice nilpotente, puis utiliser le binôme de Newton. Ici, (une matrice supérieure stricte étant toujours nilpotente).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite323995a2]

D'accord. Et j'ai une autre question comment je fais pour donner une base de E.
E c'est quelque soit n appartenant à N , un+3= 6Un+2 -12Un+1 +8Un?

[DarK MaLaK]

Une idée qui sert assez souvent : écrire ta matrice comme une combinaison linéaire de l'identité et d'une matrice nilpotente, puis utiliser le binôme de Newton. Ici, (une matrice supérieure stricte étant toujours nilpotente).

Ou alors on peut diagonaliser la matrice. Il suffit alors de mettre ses coefficients à la puissance n.

[Thorin]

Ici, la matrice n'est pas diagonalisable, ceci dit...

[DarK MaLaK]

Ici, la matrice n'est pas diagonalisable, ceci dit...

Ok, désolé, je n'ai pas vérifié mais cette méthode marche assez souvent, donc autant la préciser quand même.