Evenements suivants la Distribution de Poisson

[andrew_77]

Bonjour,

J'ai une petite question sur la distribution de poisson dans un cas particulier (je n'y connais rien en proba donc....)
Si on se donne un intervalle d'observation égal à (on est en secondes).
Sur cet intervalle d'observation, on sait que des évènements ponctuels DISCRETS peuvent survenir avec une fréquence moyenne égale à Hz et que ces évènements suivent la loi de poisson.
Ainsi, j'aimerais discrétiser cet intervalle par pas de secondes en intervalles de la forme où et sur chaque intervalle, un évènement a la probabilité de poisson de survenir.

Comment est-ce que je peux vérifier (par le calcul) que lorsque je fais cette expérience une infinité de fois, j'obtiendrais une fréquence moyenne égale à 30 Hz ?

Voilà... dites moi si j'ai dit des incohérences lol
-----

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

je ne comprends pas bien ce que tu cherches à faire...

Commençons par ça :

Tu dis : "ces événements suivent la loi de Poisson"... ce qui ne veut pas dire grand chose. La loi de Poisson modélise souvent le nombre d'occurences d'un événement rare. Est-ce que c'est ce que tu veux dire ?


RdB

[andrew_77]

salut !!
oui la loi de poisson modélise le nombre d'occurences d'un évènement sur l'intervalle [0, 1.5], le nombre d'occurrences des évènements va être en moyenne égale à 30 Hz, c'est-à-dire qu'on va en avoir 45.
c'est ce paramètre que j'impose à la loi

[andrew_77]

Ensuite j'ai découpé l'intervalle par un pas de temps, et sur chaque petit intervalle, la loi de poisson me donne la probabilité d'avoir UN évènement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

En clair, tu dis la chose suivante : lorsqu'un événement se produit sur [0,T], la loi de l'instant de cet événement suit la loi uniforme sur [0,T].

[andrew_77]

Euh.. peut-être, je suis pas assez callé pour dire si oui ou non c'est vrai !!
l'instant de l'évènement ne m'intéresse pas vraiment... ce qui m'intéresse, c'est de savoir si l'évènement a lieu sur un petit intervalle

[inviteaeeb6d8b]

La loi de Poisson ne fournit pas d'information sur l'instant d'occurence de chaque événement. Si le modèle dont tu disposes est le suivant : "le nombre d'occurences suit une loi de Poisson", tu n'as aucun moyen de faire mieux sans faire d'autres hypothèses.

J'ai l'impression que tu fais l'hypothèse supplémentaire suivante :
Tu discrétises l'intervalle [0,T] en N petits intervalles et tu dis que la proba de "l'instant d'occurence d'un événement intervient sur le petit intervalle " est (pour tout ) (c'est la loi uniforme... après discrétisation)

[invite986312212]

je pense que andrew_77 se réfère au processus de Poisson.

[inviteaeeb6d8b]

je pense que andrew_77 se réfère au processus de Poisson.

Aaahhh ! Effectivement, c'est bien possible.

[andrew_77]

En fait j'ai tout expliqué dans mon premier message.

J'ai créé un programme qui génère des évènements aléatoires sur l'intervalle d'observation... j'obtiens des fréquences allant de 15 à 45 Hz à peu près.... mais j'aimerais que la moyenne de ces fréquences soit égale à 30 lorsque je répète une infinité de fois mon programme.
C'est ça que j'aimerais vérifier par le calcul !!

SVP c'est super urgent !!

[invite986312212]

bonjour,

si tu veux simuler un processus de Poisson sur un intervalle fini, disons , la meilleure approche est de :
1) tirer le nombre d'événements dans la loi de Poisson de moyenne si l'intensité du processus.
2) tirer les instants indépendamment dans la loi uniforme sur .

[andrew_77]

bonjour,

merci de me répondre... mais j'ai rien compris lol
je vois pas comment je peux répondre à ma question avec ce que vous m'avez dit

[invite986312212]

le sens de ma réponse, c'est que tu n'as pas besoin de discrétiser le temps pour simuler un processus de Poisson. Ce que tu veux faire, c'est simuler un processus binomial qui approxime un processus de Poisson, mais c'est inutile. Donc c'est ta question qui n'est pas la bonne.

[andrew_77]

bon... c'est vrai que je n'ai peut être pas été très clair, alors je reprends tout :

on ADMET (c'est ce que j'ai lu sur des articles) que mes évènements suivent une CERTAINE loi de répartition sur [0, 1.5 secondes] ; plus précisémment :

On discrétise l'intervalle par des intervalles de longueur de la forme où
Sur chaque intervalle de longueur , UN seul évènement peut se produire avec une probabilité égale à où est la fréquence moyenne du nombre d'évenements par seconde.

Ainsi, j'ai créé un programme qui génère le vecteur suivant :
= un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.
Si ce nombre est supérieur à la probabilité alors on n'aura pas d'évènement sur l'intervalle .
Sinon, on aura un évènement.

Ainsi, ce programme me génère des échantillons d' évènements distribués sur .
Ces échantillons ont une certaine fréquence qui est PLUS ou MOINS éloignée de la fréquence moyenne .
Ce que j'aimerais, c'est que lorsque j'ai une infinité d'échantillons, la fréquence moyenne de mes échantillons corresponde à la fréquence moyenne (pour cela, peut être imposer des restrictions sur le?... ou d'autres choses)
Ce que j'ai remarqué en tatonnant, c'est que si je prends Hz et = 0.005 secondes et que je lance 10000 échantillons, j'obtiens une fréquence moyenne aux alentours de 25-26 Hz.
Par contre, si au lieu de prendre la probabilité , je prends la probabilité approchée ( petit), et que je refais 10000 échantillons, j'obtiens (étrangement) une fréquence moyenne égale à 29.7 donc très proche de 30 (???).
J'aimerais comprendre ce qui se passe et donner un sens plus mathématique à ce que je fais...

Si qq'un peut m'aider... ça serait super

[inviteae4072e1]

[...]une fréquence moyenne[...]

Il existe deus seuls et uniques théorèmes qui lient la théorie des probabilités à la science des statistiques : Le théorème de la centrale limite et la loi des grands nombres (forte ou faible). Une espérance mathématique et une moyenne d'échantillon sont deux choses différentes ; rejette un oeil sur la loi des grands nombres .

[...] 10000 échantillons [...]

Tes échantillons ont quelle taille ?

[invite986312212]

j'insiste: tes problèmes viennent de la discrétisation.
tu as un processus de Poisson d'intensité F (nombre moyen d'événements par seconde). Sur un intervalle de longueur h, le nombre d'événements suit une loi de Poisson de paramètre (= moyenne) Fh.
La probabilité d'avoir exactement 1 événement dans un intervalle de longueur h est . Jusque là tout va bien. Sauf que... sur un intervalle de longueur h, aussi petite soit-elle, tu peux avoir plus d'un événement. La probabilité de cette éventualité est . Ta méthode de simulation la néglige, à tort apparamment. Si tu choisis un pas plus petit les choses vont s'améliorer, mais c'est inutile. Je te conseille de procéder comme suit:

1) tu tires une variable selon la loi de Poisson de moyenne 45 (30 Hertz et 1.5 seconde), appelons-la N
2) tu tires N nombres aléatoires indépendamment et uniformément dans l'intervalle [0,1.5]
3) tu les ordonnes si tu veux pour avoir ta succession d'événements.

ce n'est pas la peine de vérifier que la fréquence moyenne est 30 Hertz, elle l'est pas construction.

[andrew_77]

Ok.

Stp, je vais paraître lourd, mais tu peux me dire ce que signifie concrètement :
1) tu tires une variable selon la loi de Poisson de moyenne 45 (30 Hertz et 1.5 seconde)...

[inviteae4072e1]

Ok.

Stp, je vais paraître lourd, mais tu peux me dire ce que signifie concrètement :
1) tu tires une variable selon la loi de Poisson de moyenne 45 (30 Hertz et 1.5 seconde)...

Tu simules un échantillon selon ta fonction de répartition de Poisson de moyenne 45 (30 Hertz et 1.5 seconde).

[andrew_77]

Euh... je sais pas ce que c'est la fonction de répartition mais j'ai vu sur internet qu'elle faisait intervenir la fonction gamma incomplète c'est ça ?

[andrew_77]

Help !!!!!!

[invite986312212]

salut,

je te suggérais de simuler le processus en tirant d'abord le nombre d'événements dans la loi de Poisson, puis les événements eux-mêmes dans la loi uniforme parce je pensais à la programmation dans un langage de haut niveau comme S.
avec R, tu résouds ton problème en une seule ligne:
> sort(runif(rpois(1,lambda=45)) *1.5)

mais en fait, j'ai regardé comment on simulait la loi de Poisson, et on le fait à partir du processus de Poisson!! donc pour ton problème, il vaut mieux simuler directement un processus de Poisson. Ca se fait comme ci:
- tu initialises t à 0
- tu tires une variable dans la loi exponentielle de paramètre 30 (de moyenne 1/30 donc), soit X1
- tu fais avancer le temps à t <- t+X1
- tu itères jusqu'à dépasser 1.5

pour engendrer une exponentielle de paramètre r, si tu as une uniforme U entre 0 et 1, tu prends X <- -log(u)/r

[andrew_77]

Ok c'est super merci.
Le seul petit problème, c'est qu'avec ta méthode, j'obtiens la chose suivante :
à un évènement est associté un temps t (dans l'intervalle [0, 1.5]) alors que dans mon modèle, je dois imposer une petite contrainte : deux évènements ne peuvent être rapprochés de moins de 1 milliseconde.
Avec ma méthode de discrétisation, je savais si un évènement avait lieu sur un petit intervalle de temps...mais je ne savais pas à quel temps précis...donc c'est moi qui choisissait où je plaçais cet évènement sur ce petit intervalle afin de respecter la contrainte de 1 millisecondes.
Bon, puisqu'elle ne convient pas, est-ce qu'on peut modifier le processus que tu m'as proposé pour tenir compte de cette contrainte ?

[andrew_77]

Je suis désolé, j'ai oublié de dire autre chose :
deux évènements ne peuvent être rapprochés de moins de 1 milliseconde, ok. mais aussi, chaque évènement à une durée égale à 1 milliseconde.
Donc la période (1 milliseconde) pour laquelle deux évènements ne peuvent etre rapprochés correspond à la période entre la fin d'un évènement et le début d'un autre

mais est-ce qu'il est cohérent d'imposer ces contraintes à ce processus ?

[invite986312212]

alors si deux événements ne peuvent être plus proche qu'une certaine durée, tu n'as plus un processus de Poisson, mais un processus de Gibbs (ou de Strauss, je ne sais plus, la terminologie n'est pas la même en maths et en physique). Et c'est plus compliqué...

si un événement a une durée, tu n'es plus dans le cadre des processus ponctuels stricts, mais tu as un processus marqué. Il faudrait regarder du côté des "compteurs de type 1 ou 2", c'est des processus censés modéliser l'enregistrement des désintégrations par un compteur Geiger.

[andrew_77]

Ok merci bcq pour ton aide