Equations du pendule et approximations des petites oscillations

[taladris]

Bonjour,

lorsqu'on cherche à résoudre l'équation du pendule sans frottements, on arrive à l'équation différentielle (E) , où k est une constante.

Comme (E) ne peut pas être résolue explicitement (avec des fonctions usuelles), on tient le raisonnement suivant:
pour petit, on donc on cherche plutôt à résoudre (E') , ce qui est beaucoup plus facile. Et on dit que les solutions obtenues pour (E') sont des approximations des solutions exactes de (E) pour de petits angles.

En travaillant un peu plus, on voit que les solutions exactes de (E) peuvent s'écrire en utilisant les fonctions elliptiques de Jacobi (qui sont des déformations de sin et cos) et que pour des petits angles, les ressemblent aux solutions de (E'). Donc on a une justification a posteriori de l'approximation effectuée.

Ma question: existe-t-il un moyen (un théorème) permettant de justifier une telle approximation? Où est-ce juste une "escroquerie de physicien" (désolé) qui par chance fonctionne?

Ce qui me rend perplexe, c'est qu'a priori, en modifiant très légèrement une équation (différentielle ou non), on peut changer complètement l'allure des solutions.

Cordialement
-----

[KerLannais]

Salut,


de sorte que pour

Il est clair que cette majoration est encore vraie pour . Ainsi, si tu fixe et si tu pose

et

alors


Soit et et on suppose et tel que la solution de l'équation du pendule dans l'approximation des petites oscillations reste pour dans (je te laisse chercher l'intervalle des valeurs admissibles de en fonction de , , et cela ne présente aucune difficulté puisque dans ce cas on sait résoudre l'équation).

Notons l'unique solution sur du problème

(donnée par le Théorème de Cauchy-Lipschitz)
avec une constante strictement négative.

et l'unique solution sur du problème

(qui peut se calculer explicitement).

Posons . C'est alors une fonction deux fois dérivable solution du problème


On résout cette équation en en fonction de et de . La solution de l'équation homogène est bien connue c'est

où et sont des constantes et où on a noté
.
La méthode de la variation de la constante pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2 dit qu'il faut chercher sous la forme

et supposer

avec et des fonctions dérivables sur à trouver. On a alors



On en déduit



On a donc



avec et des constantes. De sorte que




Ainsi on doit avoir

(On vérifie que c'est bien une solution de l'équation et c'est alors l'unique solution par Cauchy-Lipschitz).

Il est facile de voir que la fonction est Lipschitzienne sur en tant que fonction continûment différentiable sur un compact et en particulier il existe une constante (on peut prendre ) telle que


On a alors en vertu des choix de et


Notons

On a

de sorte que

Ainsi

et donc


Puisque la constante

ne dépend pas de mais seulement des données du problème on peut très bien choisir pour un fixé arbitrairement petit

On a alors

mais auquel cas il faut choisir et en conséquence. Autrement dit, plus on veut approcher de façon précise la solution exacte du pendule par la solution approchée, plus il faut considérer des petits angles, ce qui est naturel

Ps: On peut trouver une meilleure constante j'y suis allé bourrin dans mes majoration. Si tu t'y connait en analyse qualitative d'EDO tu remarquera que je n'ai fait rien de plus que d'appliquer le Lemme de Gronwall à plusieurs reprises et que la méthode peut facilement se généraliser à d'autre équations suffisamment gentilles

[KerLannais]

oups je vien de me rendre compte que j'ai oublié des

à commencer par l'équation de

il faut à chaque fois lire et la constante est changée. Cela dit cela ne change rien à la conclusion

[taladris]

Je n'attendais pas une réponse aussi détaillée. Merci beaucoup!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Sinon un simple développement de Taylor à l'ordre 1 de sin(x) justifie l'approximation des petits angles. C'est du moins l'explication usuelle en licence de physique.

Bon courage!