Exercice Polynômes

[Turgon]

Bonjour, un exercice de mon DM:

Soit P un polynôme à coefficients complexes. On suppose que P est scindé à racines simples. Le but de l'exercice est de donner une condition nécessaire et suffisante Sur les racines de P pour que Q:=P(X²) soit scindé à racines simples.

Merci d'avance ^^!
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
que se passe-t-il si l'un des racines est nulle?

[Turgon]

Aucune précision n'est faite pour ce cas précis. Mais tu a raison, si 0 est racine de P, il est racine double de Q (=P(X²)), donc P ne peut admettre 0 pour racine.
Seulement, la condition qui doit être donnée doit aussi être suffisante (et là ce n'est qu'une condition nécessaire).
Il me faudrait en fait le critère équivalent (j'avais conjecturé que les racines de P devraient être réelles strictement positives mais je suis pris de doute et ais du mal à le démontrer).

Merci pour ton aide en tout cas.

[invite899aa2b3]

Si admet au moins une racine double non nulle, on peut raisonner sur le polynôme dérivé pour voir que est une racine double de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[naznouz]

comme P est sindé P(X)=a0(X-a1)(X-a2)(X-a3).....(X-an)
Q(X)=P(X²)=a0(X²-a1)(X²-a2)(X²-a3).....(X²-an)
soit bij les racines de aij qui sont déjà 2 à 2 différents donc il faut et suffit que les bij soit 2 à 2 diferrents (j=1 ou j=2).
Q(X)=a0(X-b11)(X-b12)(X-b21)(b-b22).....(X-bn1)(X-bn2).

[naznouz]

bah on peut simplifier plus, pour que les bij soit différent: les ai doivent etre différent de (x+iy)² càd il n existe pas x y de R telque: Re(ai)=x²-y² et Im(ai)=2xy

[Médiat]

bah on peut simplifier plus, pour que les bij soit différent: les ai doivent etre différent de (x+iy)² càd il n existe pas x y de R telque: Re(ai)=x²-y² et Im(ai)=2xy

Pourquoi faudrait-il que "les ai doivent etre différent de (x+iy)²" ?

De plus tous les nombres complexes peuvent s'écrire comme un carré (C est algébriquement clos) ...

[mimo13]

Bonjour,

A ta place Naznouz je verrais autrement:

Posons les racines distincts de qu'on suppose bien entendu de degres .

étant algébriquement clos (comme cité précédemment) , posons les complexes tel que .

Il est clair que .

Les racines de sont bien .

On dispose bien de racines,reste à trouver une CNS pour que ces racines soient toutes distinctes.

[mimo13]

Je continue mon post,

Supposons qu'il existe deux racines et avec de tq et .

Deux cas se posent:

Si il se trouve que en élevant au carré on trouve que absurde car les racines de sont toutes simples.

Si on aura .

La réciproque est alors évidente.
Donc une CNS sur les racines de est qu'ils soient tous non nuls.
Ce qu'on peut voir aisément par un exemple, si est racine de , divisera donc la multiplicité de est pour .

Cordialement.

[Turgon]

Désolé de ma réponse tardive, j'ai assimilé votre réponse (malheureusement j'ai rendu moi-même l'exercice avec une répons fausse).

Merci pour votre aide ^^.