Soient A et B deux polynômes de R[X] tels que : 1-A² = (1-X²)B²
1) Montrer PGCD (A,B) = 1
---> Théorème de Bezout
2) Montrer que B divise A'
3) En déduire que A'= +(ou -) nB où n = degré de A
Pourriez vous m'aider pour la question 2 et 3 parce que j'ai aucune idée.
Bonjour,
Un petit effort de politesse ne fait jamais de mal...
Sinon as-tu pensé à dériver déjà ? Et essaye de relier la deuxième question à la première, pense à quels théorèmes tu peux utiliser en relation avec la primalité entre eux de deux polynômes....
Bonjour et la bienvenue,
pour le 2) il suffit de dériver la relation, à gauche il apparaîtra un produit AA' et à droite tu peux mettre B en facteur. Ensuite utilise la question 1).
Pour le 3), A'=PB P polynôme,
à partir de la relation avec A,A',B,B' trouvée précédemment, on peut montrer que degré(P)=0.
Pas encore vu pourquoi +/- n, mais ça devrait déjà t'aider à avancer.
Re,
pour le +/- n, tu peux regarder l'équation initiale et t'intéresser plus particulièrement au coefficient de plus haut degré.
C'est le théoreme de Gauss ?Envoyé par homotopie
Sinon simple info, pour la question un on montre que PGCD(A²,B²)=1 et on en déduit PGCD(A,B) en raisonnant sur des inclusions des ensembles de diviseurs, c bien ca ?
Oui
(+cet ajout sinon le message est trop court)
Même pas besoin puisque tu utilises le théorème de Bezout directement, avec
P = A
Q= (1-X2)B
et l'on a bien AP+BQ = 1
Sinon pour la 2 c'est effectivement gauss.
Oui dsl Bonjour
Sinon merci pour la réponse parce que je voyais vraiment pas comment faire surtout pour la 2, je pensais pas qu'on pouvait dérivé l'expression.
Euhh sinon moi je suis toujours interessé pour montrer que la constante c'est n, car je n'y arrive pas. J'ai essayé de remplacer A par une somme et de développer l'expression trouvée en dérivant, mais cela ne marche pas. Taylor c peut etre une piste aussi mais j'aboutis nulle part...
J'y arrive pas non plus pour la 3, la 2 j'ai réussi avec vos indications, j'arrive aussi a voir que n est une constante, mais j'arrive pas a montrer que ces +/- n
J'est essayer d'utiliser la première expression et en substituant A' par kB mais on aboutit nul part.
Ok c'est bon j'ai compris pour la question 3, en faite
A = aX^(n) + ......
B = bX^(n-1) + .......
Or gràce à 1-A² = (1-X²)B² on voit que a = +/- b
A = aX^n + ............
B = +/- aX^(n-1) + .............
donc
A' = +/- n[aX^(n-1)] = +/- nB
Je vous remercie pour votre aide
J'en profite pour te remercier toi d'avoir exprimé sur le forum le retour d'exercice et nous avoir tenu au courant
En effet, c'est plus simple.Même pas besoin puisque tu utilises le théorème de Bezout directement, avec
P = A
Q= (1-X2)B
et l'on a bien AP+BQ = 1
Sinon pour la 2 c'est effectivement gauss.
