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Exercice Polynômes



  1. #1
    GogetaSS5

    Exercice Polynômes


    ------

    Soient A et B deux polynômes de R[X] tels que : 1-A² = (1-X²)B²

    1) Montrer PGCD (A,B) = 1
    ---> Théorème de Bezout

    2) Montrer que B divise A'

    3) En déduire que A'= +(ou -) nB où n = degré de A

    Pourriez vous m'aider pour la question 2 et 3 parce que j'ai aucune idée.

    -----

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  3. #2
    Gwyddon

    Re : Exercice Polynômes


    Bonjour,

    Un petit effort de politesse ne fait jamais de mal...


    Sinon as-tu pensé à dériver déjà ? Et essaye de relier la deuxième question à la première, pense à quels théorèmes tu peux utiliser en relation avec la primalité entre eux de deux polynômes....
    Dernière modification par Gwyddon ; 09/01/2007 à 12h10.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #3
    homotopie

    Re : Exercice Polynômes

    Bonjour et la bienvenue,
    pour le 2) il suffit de dériver la relation, à gauche il apparaîtra un produit AA' et à droite tu peux mettre B en facteur. Ensuite utilise la question 1).
    Pour le 3), A'=PB P polynôme,
    à partir de la relation avec A,A',B,B' trouvée précédemment, on peut montrer que degré(P)=0.
    Pas encore vu pourquoi +/- n, mais ça devrait déjà t'aider à avancer.

  5. #4
    homotopie

    Re : Exercice Polynômes

    Re,
    pour le +/- n, tu peux regarder l'équation initiale et t'intéresser plus particulièrement au coefficient de plus haut degré.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Exercice Polynômes

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Bonjour et la bienvenue,
    pour le 2) il suffit de dériver la relation, à gauche il apparaîtra un produit AA' et à droite tu peux mettre B en facteur. Ensuite utilise la question 1).
    C'est le théoreme de Gauss ?

    Sinon simple info, pour la question un on montre que PGCD(A²,B²)=1 et on en déduit PGCD(A,B) en raisonnant sur des inclusions des ensembles de diviseurs, c bien ca ?

  8. #6
    homotopie

    Re : Exercice Polynômes

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    C'est le théoreme de Gauss ?

    Sinon simple info, pour la question un on montre que PGCD(A²,B²)=1 et on en déduit PGCD(A,B) en raisonnant sur des inclusions des ensembles de diviseurs, c bien ca ?
    Oui

    (+cet ajout sinon le message est trop court)

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Exercice Polynômes

    Même pas besoin puisque tu utilises le théorème de Bezout directement, avec

    P = A
    Q= (1-X2)B

    et l'on a bien AP+BQ = 1

    Sinon pour la 2 c'est effectivement gauss.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    GogetaSS5

    Re : Exercice Polynômes

    Oui dsl Bonjour

    Sinon merci pour la réponse parce que je voyais vraiment pas comment faire surtout pour la 2, je pensais pas qu'on pouvait dérivé l'expression.

  12. #9
    Gpadide

    Re : Exercice Polynômes

    Euhh sinon moi je suis toujours interessé pour montrer que la constante c'est n, car je n'y arrive pas. J'ai essayé de remplacer A par une somme et de développer l'expression trouvée en dérivant, mais cela ne marche pas. Taylor c peut etre une piste aussi mais j'aboutis nulle part...

  13. #10
    GogetaSS5

    Re : Exercice Polynômes

    J'y arrive pas non plus pour la 3, la 2 j'ai réussi avec vos indications, j'arrive aussi a voir que n est une constante, mais j'arrive pas a montrer que ces +/- n

    J'est essayer d'utiliser la première expression et en substituant A' par kB mais on aboutit nul part.

  14. #11
    GogetaSS5

    Re : Exercice Polynômes

    Ok c'est bon j'ai compris pour la question 3, en faite

    A = aX^(n) + ......
    B = bX^(n-1) + .......

    Or gràce à 1-A² = (1-X²)B² on voit que a = +/- b

    A = aX^n + ............
    B = +/- aX^(n-1) + .............

    donc

    A' = +/- n[aX^(n-1)] = +/- nB

    Je vous remercie pour votre aide

  15. #12
    Gwyddon

    Re : Exercice Polynômes

    J'en profite pour te remercier toi d'avoir exprimé sur le forum le retour d'exercice et nous avoir tenu au courant
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  17. #13
    homotopie

    Re : Exercice Polynômes

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Même pas besoin puisque tu utilises le théorème de Bezout directement, avec

    P = A
    Q= (1-X2)B

    et l'on a bien AP+BQ = 1

    Sinon pour la 2 c'est effectivement gauss.
    En effet, c'est plus simple.

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