Bonjour,
Je suis en train de préparer mes révisions d'équations diff. avec des exos dont on à juste les réponses.
Il faut résoudre:
x²y'-2xy=0
Apparemment le résultat serait y=Cx² (avec C la constante) mais impossible de trouver par quelle méthode. Le résultat est il juste? Par quelle méthode l'exo a t'il été résolu?
Merci d'avance.
Bonjour,
ton équation n'a pas de second membre donc ca facilite le travail, il suffit de résoudre l'Equation Homogène Sans Second Membre:
x²y'-2xy=0
x²y'=2xy
y'/y=x/2
on intègre l'équation des 2 côtés: (prend § pour le symbole de l'intégrale)
§(y'/y)=§(2/x dt)
ln(y)=2ln(x)+c c la cste d'intégration
on applique l'exponentiel de chaque côté
e^(ln(y))=e^(2ln(x)+c)
y=(e^c)(x²) e^c=C C la nvelle cste
donc
y=Cx² et voila
Merci beaucoup cela faisait un bon bout de temps que je planchait dessus et je commencais à désespérer.
De rien,
attention, si ton équa diff n'etait pas égale à 0 la méthode aurait été plus longue.
Tu aurais du utiliser la méthode de la variation de la constante. (Il en existe d'autres mais celle ci marche pas mal dans ce cas).
Allez j'en remet une couche, 2e problème:
y''-y=2e^x avec y(0)=y'(0)=0
Je trouve la solution sans second membre (C1e^-x + C2e^x) mais pour la solution avec 2e membre je bloque.
J'ai tenté y=(ax+b)e^x en le dérivant 2 fois mais le résultat n'est pas bon. Est ce la bonne méthode? Je m'arrache les cheveux avec ces équations.....
Merci d'avance.
Ta méthode est la bonne (tu peux meme laisser tomber le b qui de toute facon va s'éliminer) et par identification tu trouveras a.
Remarque : il est logique de ne pas pouvoir déterminer b vu que b*e^x est solution de l'équation homogène d'après ton résultat précédent.
Drazala
Ok donc j'ai posé:
y=ax.e^x
y'=e^x(ax+a)
y''=e^x(ax+2a)
Donc, on a:
e^x(ax+2a)-ax.e^x=2e^x
Alors: e^x(2a)=2e^x
D'où a=1
La solution serait donc:
y=C1e^-x + C2e^x + x.e^x
Seulement, le résultat à trouver serait apparemment:
y=C1e^-x + C2e^x + x.e^x -(1/2)e^x
Aurais je fais un erreur? Y aurait il une constante "b"? Comment la calculer?
Merci.
Le procede semble bien clair , supposons que nous ayons la meme equation , avec une double derivation , c est a dire Y" docn une equadiff du second degré , le procede ci dessus est t il d usage .Envoyé par Trulo
Macaire
Re bonjour,
Je bloque toujours avec cette équation diff. car
La solution que j'ai trouvé est donc:
y=C1e^-x + C2e^x + x.e^x
Et, le résultat à trouver serait apparemment:
y=C1e^-x + C2e^x + x.e^x -(1/2)e^x
Le résultat à trouver est il juste? Ou bien ma méthode n'est pas bonne?
Merci d'avance.
A+
en faite, c'est les 2 mêmes solutions.
En effet, n'oublie pas que C1 et C2 représentent des constantes réelles quelconques.
ta seconde solution :
y=C1e^-x + C2e^x + x.e^x -(1/2)e^x
=C1e^-x + (C2-1/2)e^x + x.e^x
=C1e^-x + C3e^x + x.e^x
et on retrouve ta première solution
=
Ok d'accord mais comment fait on pour trouver ce -(1/2)e^x?
j'ai refais les calculs 2 fois et la constante n'apparait pas.
je pense qu'il faut peut-être pas se prendre trop la tête avec ça.
Oui je pense aussi mais je n'aime pas rester sur un echec...
Bon toujours pas réussi à trouver mon -(1/2)e^x
"Moloch57" j'ai oublié de préciser que y(0)=y'(0)=0
donc en suivant ta méthode je trouve deux résultat différents pour C1 et C2.
Ne faut il pas utiliser la méthode ay''+by'+cy=p(x)e^mx?
Si oui quelqu'un pourrait il me l'expliquer?
Merci d'avance.
Alors personne?
désolé, c'est moi qui est oublié l'hypothèse.
en tenant compte du fait que y(0)=y'(0)=0 je trouve C1=1/2 et C2=-1/2. mais cela ne fait pas apparaitre ta constante.
la solution à ton equadiff est donc
y(x)=(1/2)e^-x-(1/2)e^x+xe^x
Ok. Mais de quelle constante parle tu? C3?
