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geometrie complexe, image d'un cercle



  1. #1
    netpipol

    geometrie complexe, image d'un cercle

    Bonjour à tous!
    J'ai un probleme que je n'arrive pas à résoudre et qui me fait m'arracher les cheveux!

    soit f tel que f(z)=z/(1-z) pour tout z different de 1

    Question : quelle est l'image par f du cercle C de centre O et de rayon 1 (privé du point d'affixe 1 bien sur)?

    On a z € C equivaut à il existe téta € ]0;2pi[ tel que z=exp(i*téta)

    donc f(téta)=(exp(i*téta)) / (1-exp(i*teta))

    Quelle est l'ensemble géométrique de f(téta) quand téta parcourt ]0;2pi[ ?

    Si quelqu'un peut m'aider, ce serait un grand soulagement merci !!

    -----


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  3. #2
    God's Breath

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    En écrivant , tu obtiens une condition sympathique pour caractériser .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    hhh86

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    En écrivant , tu obtiens une condition sympathique pour caractériser .
    Oui effectivement on peut voir ça comme ça, je n'avais pas assez poussé mes calculs et était resté avec la deuxième expression.
    Votre solution est assez élégante. Il y a moyen de s'en sortir avec la forme algébrique, on retombe également sur x'=-1/2.
    Ensuite reste plus qu'à montrer que y' décrit IR
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  5. #4
    ericcc

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Oui effectivement on peut voir ça comme ça, je n'avais pas assez poussé mes calculs et était resté avec la deuxième expression.
    Votre solution est assez élégante. Il y a moyen de s'en sortir avec la forme algébrique, on retombe également sur x'=-1/2.
    Ensuite reste plus qu'à montrer que y' décrit IR
    La factorisation par l'angle moitié, c'est un grand classique à connaitre par coeur

  6. #5
    hhh86

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    La factorisation par l'angle moitié, c'est un grand classique à connaitre par coeur
    je parlais plutôt d'écrire exp(i théta/2) sous la forme trigonométrique
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ericcc

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    Avec le sin(théta/2) au dénominateur, on y est fortement incité

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  10. #7
    hhh86

    Re : geometrie complexe, image d'un cercle

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Avec le sin(théta/2) au dénominateur, on y est fortement incité
    oui
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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