applications du schéma d'axiomes de remplacement.

[Turgon]

Bonjour à tous.

Dans le but de mieux appréhender le schéma d'axiomes de remplacement (ou substitution) de l'axiomatique ZF, j'aimerais connaître ses applications dans la théorie des ensembles, c'est à dire son utilité "pragmatique" dans cette théorie, en dehors du fait qu'il extrapole le schéma d'axiomes de compréhension.
Je n'ai pas su trouver sur internet de site parlant de cela avec précision (un article sur Wikipédia indique qu'on s'en sert pour démontrer que tout ensemble bien ordonné est isomorphe à un ordinal de Von Neumman), aussi j'aimerais avoir vos lumière sur ce sujet afin de pouvoir me faire un opinion sur ce schéma et peut être récolter la vôtre.

Merci d'avance et bonne journée !
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[Médiat]

Bonjour,

L'intérêt majeur de l'axiome de remplacement, par rapport à l'axiome de compréhension (qui est néanmoins plus simple à mettre en oeuvre et couvre beaucoup de cas), c'est qu'il permet de construire des ensembles qui ne sont pas forcément des sous-ensembles d'ensembles déjà identifiés (mais des images d'ensembles identifiés).

Par exemple on peut démontrer l'axiome de la paire à l'aide du schéma de remplacement (et de l'axiome des parties), en fabriquant à partir du vide l'ensemble des parties de l'ensemble des parties du vide qui est un ensemble à deux éléments, et la fonction qui à cet ensemble à deux éléments fait correspondre la paire (qui a deux éléments aussi, donc la fonction est facile à trouver).

[Turgon]

Bonjour et merci pour votre réponse.

En résumé:

-Isomorphisme entre un ensemble bien ordonné et un (unique) ordinal.
-Démonstration de l'axiome de la paire.

Cela fait donc une application supplémentaire de ce schéma.
Se pourrait-il qu'il y en ait d'autre? Pour ma part je veux bien avouer que, peut être par inexpérience, sans trouver pour le moins du monde ce schéma d'axiome inconvenant, j'ai quand même comme un réflexe de méfiance devant un énoncé d'une telle généralité. C'est pour cela que je cherche à consolider ma confiance en me mettant au fait du plus d'applications concrètes possibles.

Si d'autre exemple vous viennent, n'hésitez pas !

[invitec7c23c92]

L'axiome de remplacement est essentiellement inutile pour le mathématicien qui ne travaille pas sur la logique et la théorie des ensembles.

Par contre pour le logicien c'est un outil très pratique.
Par exemple, dans ZF sans l'axiome de remplacement, on ne peut pas démontrer l'existence du cardinal aleph_omega (donc la classe des cardinaux peut être très pauvre).
Avec l'axiome de remplacement, on part de {0, 1, 2, 3,...}, on remplace k par aleph_k, et on prend la réunion des éléments de l'ensemble obtenu.

La raison de l'adopter est donc simple : il a beaucoup de conséquences sympathiques pour un ensembliste, et, semble-t-il, aucune conséquence indésirable.


Notons qu'en fait on peut trouver quelques conséquences de l'axiome de remplacement en analyse : Dans ZF avec remplacement, tout borélien est un ensemble déterminé (Martin, 1975), mais ce n'est pas vrai dans ZF sans remplacement (Friedman, 1971).
C'est assez anecdotique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Merci Telchar.

Personne n'aurait t-il deux ou trois exemples de plus afin d'affuter ma confiance? Je pense ce schéma tout à fait bien, mais avec les quatre exemples que j'ai, je me demande si il ne serait pas possible de faire plus simple.

Merci encore.

[Médiat]

ersonne n'aurait t-il deux ou trois exemples de plus afin d'affuter ma confiance? Je pense ce schéma tout à fait bien, mais avec les quatre exemples que j'ai, je me demande si il ne serait pas possible de faire plus simple

Pourquoi ? Ce schéma d'axiomes rend des services, il est très intuitif et il complète efficacement les autres axiomes qui permettent de "créer" des ensembles, que lui reprochez-vous ?

[Turgon]

Si j'ai eu l'air de reprocher des choses à ce schéma, je m'en excuse.

Ce que je me demandait, c'est si il ne serait pas possible, si ses applications sont restreinte à celle qui ont été dites ici, de trouver des axiomes qui ne soit pas des schémas, qui n'aient pas à définir des transformations à arguments dans la classe des ensembles, et qui permettrait les applications que l'on fait effectivement avec ce schéma.

[Médiat]

Ce que je me demandait, c'est si il ne serait pas possible, si ses applications sont restreinte à celle qui ont été dites ici, de trouver des axiomes qui ne soit pas des schémas, qui n'aient pas à définir des transformations à arguments dans la classe des ensembles, et qui permettrait les applications que l'on fait effectivement avec ce schéma.

Il existe une solution, elle est mise en oeuvre dans la théorie des ensembles NBG (von Neumann-Bernays-Gödel), dont la différence fondamentale, est que tous les objets de l'univers ne sont pas des ensembles, certains sont des classes, il est alors possible de remplacer, les schémas d'axiomes de ZF par des axiomes (il n'y a aucun schéma).

Là-dessus, personnellement, je ne vois aucun inconvénient aux schémas.