[Sup] Surjectivité d'un endomorphisme

invitebe08d051 · 03/04/2010, 18h40

Bonjour,

Voici une question dont je ne comprend pas le corrigé.

Soit l'endomorphisme $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .

Il est clair que si $\text{[math]}$ n'est pas constant $\text{[math]}$ .
Il est résulte que $\text{[math]}$ .
Ici on demande est ce que $\text{[math]}$ est est surjectif.

Dans le corrigé, il est écrit que :
La restriction $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ au départ $\text{[math]}$ et à l'arrivée $\text{[math]}$ est bien définie, de noyau de dimension 1 et en vertu du théorème du rang surjective. (jusqu'ici on est d'accord).

Il s'en suit que $\text{[math]}$ est surjectif.

Je ne vois pas pourquoi cette dernière conséquence est vrai, est-ce parce que c'est valable pour tout n entier...j'avoue que ça m'échappe.

Qu'en pensez vous ?

invite57a1e779 · 03/04/2010, 18h47

Tout polynôme $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ bien choisi.
Donc $\text{[math]}$ admet un antécédent $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
Par suite $\text{[math]}$ est un antécédent de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est surjectif.

invitebe08d051 · 03/04/2010, 19h33

Je comprends mieux maintenant.

Merci.

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