trouver une solution d'une fonction

[invite402e4a5a]

bonsoir
alors on a une fonction f définie de a,b verx a,b tel que |f(x)-f(y)|<|x-y pour tout x et y appartanat à a,b.
je dois montrer que f est continue sur a,b est que f(x)=x admet une solution unique dans a,b.
pour la 1ère question je dois trouver que pour tout t aparrtenant à a,b la limite de f(x) lorsque xtend vers t=f(t).
or d'après les hypothèses on ne peut désuir que |la limite de f(x) lorsque xtend vers t|<1??
alrs une idéé?
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[Seirios]

Bonjour,

Tu as ; que se passe-t-il si tu fais tendre y vers x ?

[invite402e4a5a]

j'ai montré la cotinuité par définition.
mais l'existance et l'unicité du point fixe me semble encore flou
en fait on doit montrer que f est contrctante dons |f'(x)|<k pour tout x appartenat a [a,b] et 0<=k<1 or on a |f'(x)|<1 .
donc peut etre on doit modifier l'intervalle pour trouver un k?? sinon coment on peu monter l'existance seule ouis l'unicité!?

[invite3240c37d]

Attention, il n'est pas dit que que est dérivable
Montre d'abord que si alors , donc est strictement décroissante,
donc .
Voyons d'abord l'existence :
Cas 1. . Je te laisse voir l'évidence
Cas 2. . Je te laisse utiliser le th des valeurs intermédiaires
Cas 3. . Construisons la suite .
Montre que la suite est monotone et bornée. Que peux tu dire de sa limite ?
Pour l'unicité, utilise le fait que est strictement décroissante.

[A voir en vidéo sur Futura]