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trouver une solution d'une fonction



  1. #1
    littlegirl

    trouver une solution d'une fonction


    ------

    bonsoir
    alors on a une fonction f définie de a,b verx a,b tel que |f(x)-f(y)|<|x-y pour tout x et y appartanat à a,b.
    je dois montrer que f est continue sur a,b est que f(x)=x admet une solution unique dans a,b.
    pour la 1ère question je dois trouver que pour tout t aparrtenant à a,b la limite de f(x) lorsque xtend vers t=f(t).
    or d'après les hypothèses on ne peut désuir que |la limite de f(x) lorsque xtend vers t|<1??
    alrs une idéé?

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : trouver une solution d'une fonction

    Bonjour,

    Tu as ; que se passe-t-il si tu fais tendre y vers x ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    littlegirl

    Re : trouver une solution d'une fonction

    j'ai montré la cotinuité par définition.
    mais l'existance et l'unicité du point fixe me semble encore flou
    en fait on doit montrer que f est contrctante dons |f'(x)|<k pour tout x appartenat a [a,b] et 0<=k<1 or on a |f'(x)|<1 .
    donc peut etre on doit modifier l'intervalle pour trouver un k?? sinon coment on peu monter l'existance seule ouis l'unicité!?

  4. #4
    MMu

    Re : trouver une solution d'une fonction

    Attention, il n'est pas dit que que est dérivable
    Montre d'abord que si alors , donc est strictement décroissante,
    donc .
    Voyons d'abord l'existence :
    Cas 1. . Je te laisse voir l'évidence
    Cas 2. . Je te laisse utiliser le th des valeurs intermédiaires
    Cas 3. . Construisons la suite .
    Montre que la suite est monotone et bornée. Que peux tu dire de sa limite ?
    Pour l'unicité, utilise le fait que est strictement décroissante.

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