caractéristique d'un anneau

[inviteb7283ac9]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à comprendre la correction d'un exercice fait en TD :

Soit un corps de caractéristique nulle
Déterminer les polynomes tel que P(ab)=P(a)+P(b) pour tout a et b dans

Solution :

P(0)=P(0.b)=P(0)+P(b)
P(b)=0
la fonction associée à P est identiquement nulle
P=0 car la caractéristique de est nulle

Je ne comprend pas la derniere implication, j'aimerais que vous m'aidiez à la comprendre

Ensuite on a explicité un exemple où la fonction associée est nulle et le polynome est non nul ce qui justifie l'utilisation d'un argument pour affirmer que P=0
J'ai donc conscience qu'un argument est nécessaire, mais je ne vois pas en quoi le fait que la caractéritique de soit nulle soit satifaisant

Merci de votre aide
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[invitec317278e]

Salut,
il me semble que la subtilité réside en ce qu'un corps de caractéristique nulle possède une infinité d'éléments, donc en particulier, plus que le polynôme n'a de racines, quel qu'il soit.

[inviteb7283ac9]

J'ai du mal à faire le rapprochement...

[inviteb7283ac9]

rapprochement fait
Mais tu dis "il me semble"...
J'aimerai bien qqun pour confirmer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je confirme que le ressort de la preuve est que le corps a une infinité d'éléments.

[invitec7c23c92]

Si une fonction polynomiale est identiquement nulle, dans un corps de caractéristique 0, ça implique que le polynôme a une infinité de racines, donc il est nul.

Par contre, il peut arriver que dans un corps de caractéristique non nulle, un polynome non nul ait une fonction polynomiale nulle. Il suffit que le corps soit fini, par exemple K = F_3 et P(X)=X(X-1)(X-2)

[inviteb7283ac9]

Merci à tous !

[invitecbade190]

Bonjour :

Est ce que quelqu'un pourrait confirmer ce que je vais dire :

Un corps est de caractéristique si et seulement si contient .
Un anneau est de caractéristique si et seulement si contient .
Un anneau est de caractéristique si et seulement si contient .

J'ai perdu le cours où j'ai vu ça hier, je ne sais dans quel endroit j'ai vu ça sur le net.

Merci d'avance pour votre aide.

[Resartus]

Les puristes préfèreraient parler d'isomorphisme entre Z ou Z/nZ et le sous-anneau unitaire de A plutôt que de dire que A "contient" Z ou Z/nZ:
Ces résultats sont donc vrais "à isomorphisme prés....".

Wikipedia donne quelques éléments de la démonstration (évidente dans un sens, à peine plus soigneuse dans l'autre)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Caract...'un_anneau

[invite9dc7b526]

Un corps est de caractéristique si et seulement si contient .
Un anneau est de caractéristique si et seulement si contient .

ta première proposition est la conséquence immédiate de la deuxième: le corps k est aussi un anneau. S'il est de caractéristique nulle il contient Z donc son corps des fractions Q.