Salut tout le monde, j'ai un probleme avec l'ensemble unite U. On designe par U l'ensemble des elements ayant un symetrique pour la loi (.) et cet ensemble forme un groupe avec la loi (.). La loi (.) est la loi externe d'un anneau (A,+,.). Mon probleme est de savoir comment determiner l'ensemble unite correspondant a l'anneau ($\mathbb{A},+,.).
Bonjour.Envoyé par Darkaust1991
Disons qu'on parle d'anneaux commutatifs unitaires.
Il n'y a pas de méthode générale, tu es obligé de te ramener à la définition dans chaque situation.
Voici quelques exemples.
1. Lorsqu'on sait construire une application multiplicative N de l'anneau A dans un anneau B "plus simple", la résolution de
peut-être précédée de la résolution de
car la condition (2) est nécessaire à la condition (1). Ceci permet de réduire l'ensemble des a possibles avant d'attaquer la condition (1).
Si par exemple A est un anneau de nombres, toute norme peut jouer ce rôle. Elle est à valeurs dans un anneau B plus petit sur lequel A est fini, commepar exemple. De plus, N(1)=1, donc, pour que la condition (2) soit vraie, il est nécessaire que
ce qui permet de réduire les N(a) possibles aux inversibles de B.
Voir par exemple les unités des entiers de Dirichlet.
2. Si l'anneau est valué, on peut jouer de la même façon sur la valuation (la seule différence étant qu'elle est additive). C'est le cas dans les anneaux de séries formelles à coefficients dans un anneau intègre, par exemple. En fait, ce cas se ramène au cas précédent en posant N(x)=exp(-v(x)), où v est la valuation.
3. Si l'anneau est gradué, on peut jouer de manière similaire sur le degré et/ou la décomposition en homogènes. C'est le cas dans les anneaux de polynômes à coefficients dans un anneau intègre, par exemple.
4. Si l'anneau est Z/nZ, l'arithmétique des congruences fonctionne plutôt bien : les classes
5. etc.?
Taar.
Merci pour ta reponse, je suis desole de ne l'avoir pas consulte plus tot !!
Salut, j'ai une autre question. On considere $\mathbb{Z}$/$\mathbb{nz}$ comme etant l'ensemble des classes d'equivalence pour la relation d'equivalence notee $\mathcal{R}$ dans $\mathbb{Z}$ definie par x$\mathcal{R}$y \Longleftrightarrow il existe k appartenant a $\mathbb{Z}$/ y.x=kn, n appartenant a \$\mathbb{N}$/ .Cette fois ci il s'agit de savoir si \bar{x}.\bar{y}=\bar{x.y} n'est vraie que si x=x' et y=y' et que x' et y' sont forcement les symetriques de x et de y; tout en sachant que :
- La relation \bar{x}+\bar{y}=\bar{x+y} est bien definie.
