Famille vide

[invite2b18a7fa]

Bonsoir,

J'aimerais savoir pourquoi la famille vide était considérée comme étant libre. La seule combinaison linéaire vaut 0 par définition mais je ne vois pas comment on peut appliquer la définition d'une famille libre puisqu'on ne peut pas multiplier "rien" par un scalaire.
Serait-ce une convention ?

Merci d'avance
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[invitea6f35777]

Salut

Il y a plusieurs définitions de familles libres ont un encore un sens pour une famille vide. Toutes les définitions raisonnables que l'on peut envisager disent que la famille est libre. Par exemple

On dit qu'une famille d'un -espace vectoriel est liée si

dans le cas contraire la famille est dite libre. Par convention, une proposition de la forme est toujours fausse puisqu'à priori l'ensemble vide ne contient pas d'élément et donc il ne comprends pas a fortiori d'élément qui vérifie une certaine propriété. Note par ailleurs que selon cette même convention est bien défini et est égale à l'ensemble vide. En effet

Dès lors la proposition

est fausse et donc la famille vide est libre. Cela dit on peut également choisir que par convenetion la famille vide est libre, ou qu'elle n'est pas libre, auquel cas il faut restreindre ce genre de définitions en précisant que dans la définition la famille ne doit pas être vide, et changer certains énoncés de théorèmes comme par exemple:

Toute sous-famille d'une famille libre est libre

qui deviendra

Toute sous-famille non vide d'une famille libre est libre

Ainsi certains résultats seront changés mais par essence , les résultats mathématiques dépendent des définitions et des conventions choisies. De plus, en général tout résultat concernant la famille vide n'a absolument aucun intérêt, le seul intérêt est d'avoir des énoncés plus "joli" puisqu'on a pas à faire l'hypothèse de non vacuité de la famille et à pouvoir commencer des récurrences qui portent sur le nombre d'élément d'une famille à , ce qui rends en général l'initialisation de la récurrence triviale. On peut également choisir de ne jamais parler de la famille vide, elle n'a pas d'intérêt aussi essentiel que le et à par des applications à l'esthétique des démonstrations elle n'apporte rien aux sciences en général Il y a toutefois des fanatiques de l'ensemble vide, ne serait-ce que parque se demander si une propriété est vérifiée par l'ensemble vide est en générale une question métaphysique amusante

[invite2b18a7fa]

C'est en fait le même problème que j'avais eu et que j'avais évoqué dans ce post : http://forums.futura-sciences.com/ma...mble-vide.html, auquel Médiat m'avait répondu de manière très précise.

Je ne suis pas un fanatique de l'ensemble vide mais un peu par curiosité, et surtout, comme le dit si bien ta signature, "les mathématiques ne s'apprennent pas mais se comprennent", et je préfère poser la question plutôt que de prendre le risque de mal comprendre une notion importante.

En tout cas merci pour ta réponse très complète, c'est plus clair pour moi maintenant.