Produit complexes

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
ca fait quelque jours que je me pose cette question:
Si je défini une suite de fonctions polynômiales à coefficients dans C, de cette manière:

est ce que (fn) possède une limite? Cette limite ne peut déjà pas être dérivable partout sur C, si elle existe.
J'aurai aimé étudier cette question.
J'ai l'impression que si
x est sur le cercle unité
f(x)=0
si x est est dans le disque unité ouvert alors
f(x)=-1 (notamment pour x=0 c'est évident)
et sinon f n'est pas définie.

Si on généralise: Pour un lacet L donné dans le plan complexe, et tel que C-L ai deux composantes connexes, on définit une fonction comme

où est telle que l'ensemble de ses valeurs d'adhérence, soit L.
Peut on trouver une limite f à (fn)?, et si oui, peut on tirer des trucs intéressant sur f?
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[invite8f53295a]

Une limite en quel sens ? Si c'est de façon uniforme clairement pas, car une suite de polynômes convergeant uniformément sur IR ou IC est nécessairement stationnaire...

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait je parlais de convergence simple.
Mais je ne m'intéresse pas nécessairement à une convergence uniforme sur C, une convergence uniforme sur tout compact, ou une convergence uniforme uniquement sur tel ou tel ensemble, ou même une convergence simple m'intéresserait.
Celà étant, je n'ai jamais entendu parler de ce résultat que tu cites. Ca m'intéresse, ca se montre facilement?

[invite9c9b9968]

Salut Quinto, le caractère de Cauchy uniforme d'une telle suite, couplé au comportement d'un polynôme en (sur IR par exemple) te permet de conclure quant à la stationnarité de la suite de polynômes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

C'est pas idiot en effet.
Merci,
A+

[inviteab2b41c6]

Mais en fait je doute que ce soit vrai, soit P un polynôme quelconque et (Un) une suite tendant vers 0:
(fn)=(P+Un) converge bien uniformément sur R (ou C) vers P et est non stationnaire.

Quid de cette propriété alors?

[invite9c9b9968]

Tu as raison, j'ai été un peu vite.

Les arguments que j'ai fournis te permettent juste de démontrer que la limite d'une suite de polynômes convergeant uniformément sur tout IR est nécessairement un polynôme

(c'est peut-être - sans doute - ce que BS a voulu dire, un peu trop vite dans sa formulation d'ailleurs, ce qui m'a fait tomber dans le panneau )

Merci en tout cas pour la rectification.

[inviteab2b41c6]

Peut etre que modulo la relation x~y ssi x-y dans R (resp C), on a
Soit (fn) une suite de polynôme réels (resp complexes) convergeant uniformément sur R (resp C), alors la suite des projections de (fn) sur R[X]/~ (resp C[X]/~) est stationnaire?

Ca ça aurait plus de sens.
Quant au fait que je remarque que BS se trompe, ce n'est arrivé qu'une seule fois 4ans...

[invite8f53295a]

Oh non plus que ça quand même. Mais quand tu dis P+U_n avec U_ne tendant vers 0, U_n est une suite de quoi ? Connais-tu une suite de polynômes tendant vers 0 qui ne soit pas stationnaire ?

[inviteab2b41c6]

Salut,
oui une suite de polynômes constants:
(fn)=1/n
En gros on peut affirmer que modulo la constante, toute suite de polynôme convergeant uniformément sur R (C) est stationnaire. (ce que je dis au dessus en fait).

[invite8f53295a]

Ah oui tiens, j'avais pas pensé à ça
Donc il faut bien entendre ce réultat modulo les constantes, merci !