notation sur les lois de composition externe

[invitefe5c9de5]

Boonjour a tous,

Peut-on parler de lois de composition externe associative, par exemple celle des espaces vectoriels ?

Merci
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[invitebe0cd90e]

Pas tout a fait, meme si la condition qu'on exige ressemble beaucoup a une condition d'associativité. Mais tout betement, on ne peut pas dire que la loi de composition externe est associative, puisque la condition fait intervenir deux lois : la externe, mais aussi la loi du corps de base.

En resumé, d'un point de vue "vocabulaire" ca a un sens de parler de condition d'associativité pour definir les espaces vectoriels, mais ca n'a pas de sens de dire que la loi externe est associative.

[invitefe5c9de5]

euh, j'ai pas tres bien compris.

Deja est-ce que (E,*) est un groupe abélien si E est un espace vectoriel sur un corps K ?

Si non, je ne comprnds plus la defintion de l'application linéaire qui stipule qu'une application est linéaire si c'est un morphisme pour chancune de deux lois = et *.

Signé: préparationnaire déprimé

[invitefe5c9de5]

Et, de plus, pourquoi est-ce que l'ensemble des applications linéaires de E dans F n'est pas un anneau, tout comme L(E) ?

- F(E,F) est un K-e,v, de ce fait, L(E,F) est un groupe abélien.
-L(E,F) possède un élement neutre, l'application f(x)=x
-L(E,F) est bilinéaire pour la loi °, donc ° est distributive sur +.
-L(E,F) est associatif avec L(F,G).

Ca devrait pas etre un anneau ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

L(E,F) possède un élement neutre, l'application f(x)=x

M'enfin !!!

Par , tu définis une application de dans , pas de dans .

De plus tu ne peux pas composer deux applications définies de dans .

[invitebe0cd90e]

Deja est-ce que (E,*) est un groupe abélien si E est un espace vectoriel sur un corps K ?

Je ne peux pas juste te repondre "non", en fait cette question n'a pas de sens, essaie de comprendre pourquoi ! Le fait que * soit une loi de composition externe veut dire par definition qu'elle ne permet pas de multiplier deux elements de E !!

Si non, je ne comprnds plus la defintion de l'application linéaire qui stipule qu'une application est linéaire si c'est un morphisme pour chancune de deux lois = et *.

C'est une maniere un peu formelle de dire la chose suivante : une application f de vers si pour tout et tout , on a :
-
-

Dit plus vaguement, l'application f est "compatible" avec les lois, cad que tu obtiens la meme chose que tu appliques f avant ou apres avoir effectué des operations en utilisant les lois respectives de E et F.

[invitefe5c9de5]

Ah oui, je suis un peu fatigué ce soir... .
Deja, merci beaucoup a tous les deux.

Ensuite, soit une application de E dans F appelée f, existe-t-il une application g qui composé avec n'importe quelle application f de E dans F donne f°g=f et g°f=f ?

La loi de composition externe * n'est pas la meme que celle utilisé dans le morphisme, ce qui voudrait dire que E et f sont forcément des anneaux avec *' et *'' deux l.c.i ?
De plus, pourquoi as tu distingué la l.c.i + des anneaux, (si ca en est) si tu pouvais me donner un exemple ou ce n'est pas +.

Sinon, je pense avoir compris le reste; une petite question par curiosité:
-une l.c.i est: E*E -> E alors que K*E->E est une l.c.e .
Est-ce que les mathématiciens font une distinction entre des applications du type (avec F qui n'est pas un corps):
-K*F->E
-E*F->E

si elles existent ...

[invite57a1e779]

Ensuite, si je ne considère qu'une seule application de E dans F appelée f, est-ce qu'il existe une application g , qui composé avec n'importe quelle application f de E dans F donne f°g=f et g°f=f ?

Réfléchis et fais des schémas :
1.
Si tu veux avoir la composée , il te faut remplacer les points d'interrogation par , et doit-etre une application de dans .
2.
Si tu veux avoir la composée , il te faut remplacer les points d'interrogation par , et doit-etre une application de dans .

Les deux égalités et sont donc incompatibles.

[invitefe5c9de5]

Oui.
Désolé pour la question, je m'étais embrouillé entre les multiplications et les °.

[invitebe0cd90e]

Ensuite, soit une application de E dans F appelée f, existe-t-il une application g qui composé avec n'importe quelle application f de E dans F donne f°g=f et g°f=f ?

Et elle irait d'ou vers ou ta fonction g ?? La remarque de God's Breath reste valide, encore une fois ce que tu ecris n'a pas de sens, ca n'est "meme pas faux" comme on dit.

La loi de composition externe * n'est pas la meme que celle utilisé dans le morphisme, ce qui voudrait dire que E et f sont forcément des anneaux avec *' et *'' deux l.c.i ?

Comprends pas, la.. Mais si tu fais reference a ce que j'ai ecrit, non, encore une fois, E et F ne peuvent pas etre des anneaux pour la loi *, pour la meme raison que pour la structure de groupe. * permet de multiplier un vecteur (un element de E) par un nombre (un element de K). mais je ne vois pas ce que tu veux dire ? Que ce soit dans ou en dehors de la fonction il s'agit toujours d'une loi de composition externe, dans un cas appliqué a un element de E, dans l'autre a un element de F. Par definition d'une l.c.e, est bien un element de E, bien que a soit dans K...

De plus, pourquoi as tu distingué la l.c.i + des anneaux, (si ca en est) si tu pouvais me donner un exemple ou ce n'est pas +.

Ca c'est histoire d'etre rigoureux, quand on a un peu l'habitude on ne fait pas cette distinction, mais de toute facon si deux espaces sont differents, tu ne peux pas dire que leurs lois + sont les memes, bien que je t'accorde qu'elle est toujours définie de facon similaire. Bref, j'ai fait ca pour insister sur le fait que les 2 operations n'etaient pas effectuée dans le meme espace. Dans f(u+v) tu additionnes 2 elements de E, puis tu appliques la fonction. Dans f(u)+f(v), tu appliques la fonction a u et v, puis tu effectues l'addition des deux elements que tu obtiens, qui sont donc bien des elements de F.

Sinon, je pense avoir compris le reste; une petite question par curiosité:
-une l.c.i est: E*E -> E alors que K*E->E est une l.c.e .
Est-ce que les mathématiciens font une distinction entre des applications du type (avec F qui n'est pas un corps):
-K*F->E
-E*F->E

J'imagines que tu veux dire que E n'est pas un corps. Je ne sais pas ce que tu entends par "distinctions", mais oui on obtiens des choses interressantes si E est un anneau, un groupe, ou un corps, une algebre, ou n'importe quelle structure algebrique. On obtient des trucs qui sont generalement bcp plus compliqués que les espaces vectoriels, puisque pour ces derniers tout se passe de facon a peu pres ideale. C'est donc vraiment la base absolue pour tout le reste.

[invitefe5c9de5]

Je suis allé voir sur Wikipédia, j'ai compris que la structure algébrique est défini par les lois qui le compose. Or, un espace vectoriel est défini avec une et une seule l.c.i, donc ce n'est pas un anneau.
Comment faut-il considérer le morphisme faisant intervenir la l.c.e; un morphisme d'espace vectoriel, ce qui voudrait dire qu'il existe des l.c.e différentes pour les espaces vectoriels associé a un corps K?

[invitefe5c9de5]

Je n'ai vu ton message qu'apres avoir posté le mien, d'ou la redondance. Mais la question reste posé. En fait, un espace vectoriel qui n'est sur aucun corps est tout betement un groupe abélien.
Enorme merci pour la clarté de vos réponses, et désolé pour l'opacaité de mon cerveau ^^.

[invitebe0cd90e]

Comment faut-il considérer le morphisme faisant intervenir la l.c.e; un morphisme d'espace vectoriel, ce qui voudrait dire qu'il existe des l.c.e différentes pour les espaces vectoriels associé a un corps K?

Je ne comprends toujours pas bien la question... Une applicationlineaire c'est juste un nom courant pour dire "morphisme d'espace vectoriel". Ensuite encore une fois il faut s'entendre sur ce que veut dire "differente".. Encore une fois si ce sont des espaces differents, la loi est forcement differente ! Mais d'un autre coté il n'y a pas de "piege", la loi externe est bien "ce que tu imagines"...

Autrement dit, c'est bien de vouloir raisonner vraiment d'un point de vue "structure" (ca vient sans doute de la facon dont est tournée ton cours), mais il ne faut pas tomber dans le piege de la "boite noire" ou tu manipules tout ca sans intuition. Tous ces axiomes bizzares ne sont la que pour donner un cadre rigoureus a des choses que tu connais, en gros les espace et . Il faut garder en tete qu'un espace vectoriel c'est "juste" un ensemble dans lequel tu peux reperer chaque element par des coordonnées (des "vecteurs"), que la somme c'est bien l'addition des coordonnées, et la l.c.e la multiplication des coordonnées par un meme nombre. Mais evidemment dire ca ca n'est pas rigoureux, ca n'est pas pratique pour travailler en toute generalité, donc on travaille avec les definitions que tu as pour pouvoir faire de vraie demonstrations. DOnc meme s'il ne faut pas le dire trop fort, il faut bien garder cette image en tete, qui ne doit rester qu'une image mais qui est la bonne vision intuitive de la "raison d'etre" de ces definitions abstraites.

[invitefe5c9de5]

bah en fait pas vraiment, mon cours n'était pas du tout orienté vers une compréhension des structures, mais comme je trouve ca interessant...^^
Sinon, tu as raison de me rappeler ce qu'est tout betement un espace vectoriel, j'aurais eu tendance a l'oublier.
Merci pour tout.

[invitebe0cd90e]

bah en fait pas vraiment, mon cours n'était pas du tout orienté vers une compréhension des structures, mais comme je trouve ca interessant...^^

Ca n'est pas moi qui vais te le reprocher, au contraire, je suis un algebriste convaincu C'est tres important de comprendre ca, et aussi de comprendre que la plupart des notions et un grand nombre de theoreme sont communs a toutes les structures usuelles (notions de noyau, de morphisme, les theoremes d'isomorphismes, etc..)

Je voulais juste rappeler que tout ceci marche bien si tu ne contentes pas de faire du "calcul formel", mais que tu te souviens quelle idée intuitive on cherche a capturer en definissant les groupes, les anneaux, les espaces vectoriels, etc...

[invitefe5c9de5]

Et en plus d'etre interessant, c'est utile pour ne pas avoir a s'encombrer l'esprit de multiples propriétés ^^.

Sinon, en continuant de lire mon cours, j'ai trouvé un truc qui ne colle pas avec ce que j'ai compris hier.
Soit E un K-e,v, (x1,...xn) une famille de vecteur de E, on considère l'application:

f:K^n -> E

(m1,...,mn) -> f(m1,...,mn)= somme de k allant de 1 a n: mk*xk

Pourquoi est-ce que l'ensemble de départ n'est pas K^n*E^n ?
En effet, a chaque scalaire, on associe un vecteur au cours de cette application. C'est comme pour la l.c.e des espaces vectoriels, non?

[invitebe0cd90e]

Pourquoi est-ce que l'ensemble de départ n'est pas K^n*E^n ?
En effet, a chaque scalaire, on associe un vecteur au cours de cette application. C'est comme pour la l.c.e des espaces vectoriels, non?

Bah non ! Pour la lce, on associe a un couple (scalaire, vecteur), un nouveau vecteur.

Dans l'exemple que tu donnes, on a une famille fixée de vecteurs, et on associe à une famille de n scalaires (et non pas un à un seul), un vecteur de E. C'est donc bien une application de K^n -> E.

[invitefe5c9de5]

Mais je ne comprends pas ce change le fait que les vecteurs soient fixés ou non.
Dans ce cas, on associe n couples (scalaire,vecteur) a un vecteur...

Par exemple, si on prenait un scalaire fixé a qui on associe un vecteur x, cela voudrait dire que ceci est une application de E dans E?

Et, l'ensemble des automorphismes de E dans E est-il un corps tel que:
(GL(E),+,°)

[invitebe0cd90e]

Ce que ca change qu'ils soient fixés, bah c'est qu'ils ne sont pas variables, que dire d'autre Ce ne sont pas des variables de la fonction, tu ne peux pas prendre ceux que tu veux, ils sont fixés une fois pour toute. Donc les images de la fonction ne dependent que de la famille d'elements de K...

Par exemple, si on prenait un scalaire fixé a qui on associe un vecteur x, cela voudrait dire que ceci est une application de E dans E?

Oui, si par la tu parles bien de l'application .. C'est effectivement une application de E dans lui meme, et meme l'exemple le plus simple d'application lineaire.

Je comprends ce qui te perturbes, tu sens bien que tu peux aussi faire varier a, ou la famille de vecteur dans ton premier cas. Ca veut juste dire que la definition de la fonction depend de ce choix, mais que le choix est fait une fois pour toute. Donc il y a une difference entre :
- l'application de définie par (qui n'est rien d'autre que la lce)
- l'application de E dans lui meme definie par , ou cette fois a est fixé à l'avance.

Ces deux fonctions ne partent pas du meme espace, ne prennent pas les memes valeurs, et sont donc clairement differentes, meme si evidemment elles sont liées (en un sens, la 2e est une "restriction" de la premiere, obtenu en "figeant" la variable scalaire.)

Et, l'ensemble des automorphismes de E dans E est-il un corps tel que:
(GL(E),+,°)

Non, si f est un automorphisme, est ce que f-f en est encore un ?? Autrement dit, est tu sur que GL(E) est stable par addition ? GL(E) est seulement un groupe.

[invitefe5c9de5]

Pour les automorphismes, je suis allé vite en besogne en partant du fait que L(E,+,°) est un anneau...
En fait, ce qui définit l'epace de départ d'une application, c'est tous les ensembles qui peuvent faire varier le résultat, pour une application donnée?

[invitebe0cd90e]

Pour les automorphismes, je suis allé vite en besogne en partant du fait que L(E,+,°) est un anneau...

Oui, d'une maniere generale un anneau quelconque ne contient pas de corps, en revanche il contient toujours un groupe multiplicatif, celui formé des elements inversibles.

En fait, ce qui définit l'epace de départ d'une application, c'est tous les ensembles qui peuvent faire varier le résultat, pour une application donnée?

En un sens, mais c'est une maniere compliquée de dire que c'est tout simplement les espaces dans lesquels vivent les variables !