LCI lois de composition interne

[inviteb1426c1f]

j'ai des exos a faire mais j'ai pas de cours sur les LCI
dans mes exos il y a une loi avec une étoile* et une autre avec un carré c'est quoi la difference?
merci
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[invite57a1e779]

Etant donné un ensemble , une loi de composition interne sur est une application de dans : à un couple d'éléments de , la loi de composition associe un élément de .

Des exemples sur sont :
– l'addition : ;
– la multiplication : .

Sur un ensemble d'applications d'un ensemble dans lui-même, on peut envisager la composition .

Sur l'ensemble des parties d'un ensemble, on utilise :
– la réunion : ;
– l'intersection : ;
– la différence : ;
– la différence symétrique : .

Dans tous les cas , l'élément associé au couple est noté avec un symbole pour la loi de composition interne intercalé entre et .

Dans les exercices où l'on envisage pas une loi usuelle, désignée par un symbole normalisé, on utilise des symboles comme ou pour noter l'élément associé au couple sous la forme ou .
Tu peux, dans un premier temps, imaginer que l'un représente une addition, et l'autre une multiplication.

[inviteb1426c1f]

j'ai plrs questions encore...

1. (Q,¤) a¤b=ab/(a+b) avec a+b different de 0
on me demande si la loi¤ est asociative et commutative:OUI
vérifier que le produit est distributif par rapport à la loi ¤...?(la je sais pas comment faire)

2.(R,*) a*b=a+b+ab
Montrer que R\{-1} est un groupe pour la loi *.
j'ai donc montré que la loi est associative et qu'elle possede un élément neutre (qui e=0 si je ne me ss pas trompé)
Mais il faut que je montre aussi que tt élément a de E possede un symétrique dans E --> a*a'=a'*a=e mais j'y arrive pas (je sais pas si c'est comme ca qu'on fait?)

3.comment fait t'on pour vérifier qu'un ensemble E est un aneau commutatif pour le produit et l'addition?

merci à tous pour vos réponse (j'aurai surment plein d'autre questions encore...)

[invite57a1e779]

1. (Q,¤) a¤b=ab/(a+b) avec a+b different de 0
vérifier que le produit est distributif par rapport à la loi ¤...?(la je sais pas comment faire)

La distributivité tu produit par rapport à l'addition, ce sont les propriétés usuelles :
a(b+c) = (ab)+(ac) et (b+c)a = (ba)+(ca)
donc la distributivité tu produit par rapport à la loi ¤, ce sont les propriétés :
a(b¤c) = (ab)¤(ac) et (b¤c)a = (ba)¤(ca)

2.(R,*) a*b=a+b+ab
Montrer que R\{-1} est un groupe pour la loi *.
Mais il faut que je montre aussi que tt élément a de E possede un symétrique dans E --> a*a'=a'*a=e mais j'y arrive pas

Puisque e=0, cela veut dire qu'il faut résoudre les équations
a*a'=0 et a'*a=0,
a' étant l'inconnue à calculer en fonction de a.

3.comment fait t'on pour vérifier qu'un ensemble E est un aneau commutatif pour le produit et l'addition?

C'est bizarre comme question...
Il faut vérifier que E muni de la multiplication est un groupe commutatif, et que l'addition est associative, commutative, distributive sur la multiplication.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb1426c1f]

j'ai encore besoin d'aide
(R,*) a*b=a+b+ab
montrer que R\{-1} est un groupe pour la loi *.
Dans mon cours j'ai (E,*) possede une sutructure de groupe si:
1. la loi * est associative
2. la loi * possede un élément neutre e
3. tt élément a de E possede un symétrique dans E

J'ai montré que la loi est associative et qu'elle possede un élément neutre e=0 mais je ne sais pas comment faire pour le symetrique?

Puis on me demande de résoudre dans ce groupe léquation a*x=b (application 3*x=1) comment fait on pour résoudre de t'elle équation?

merci

[invite57a1e779]

a*b=a+b+ab
J'ai montré que la loi est associative et qu'elle possede un élément neutre e=0 mais je ne sais pas comment faire pour le symetrique?

Il suffit de trouver a' tel que a*a'=e, c'est -à-dire tel que a+a'+aa'=0, puis vérifier que a'*a=e

Puis on me demande de résoudre dans ce groupe léquation a*x=b (application 3*x=1) comment fait on pour résoudre de t'elle équation?

Il s'agit tout simplement de l'équation a+x+ax=b.

[inviteb1426c1f]

comment montrer que (E,*) est un groupe abélien?

[inviteb1426c1f]

j'ai encore des ptts probleme ac mes exercices ....

soit A l'ensemble des nombres reels de la forme z=a+b.2^(1/2) avec a€Z et b€Z
Vérifier que A est un anneau commutatif pour l'addition et le produit.
(je ne comprend pas trop la question)
dans mon cours j'ai (E,*,¤) possede une structure en anneau si
1. (E,*) est un groupe abélien (mais je ne sais pas ce que c'est)
2. la loi ¤ est associative et distributive par rapport à la loi * (que faut t il que je fasse a partir de ca?)
et l'anneau est commutatif si la loi ¤ est commutative (c'est bien ca?)

merci de me donner quelques indications....

[inviteb1426c1f]

quelqu'un peut m'aider...?

[inviteb1426c1f]

nen c'est bon j'ai fais...