Bonjour tous,
Comme mon titre l'indique je cherche à savoir qu'es ce qu'un espace compact, j'ai regardé sur wikipedia et c'est un peu trop matheux pour moi.
Si vous avez une explciation plus clair ou plus résumé ca serait gentil.
merci d'avance
A+
Bonjour,
Dans le cadre le plus général, c'est à dire lorsque tu travailles dans un espace muni seulement d'une topologie, un compact vérifie à la fois l'axiome de Borel-Lebesgue (quasi-compact) et l'axiome de Haussdorf (séparé).
Un espace métrique est nécessairement séparé... Si tu travailles dans un espace muni d'une distance, un compact est donc un quasi-compact.
Enfin, si tu travailles dansmuni d'une norme, les compacts sont les fermés bornés.
merci beaucoup de ton aide romain des bois, mais en fait je ne connais pas c'est notions de topologie (d'ailleurs c'est une matiere que je n'ai pas vraimeent suivie), mes connaissance s'arrete plutot à:Envoyé par Romain-des-Bois
Bonjour,
Dans le cadre le plus général, c'est à dire lorsque tu travailles dans un espace muni seulement d'une topologie, un compact vérifie à la fois l'axiome de Borel-Lebesgue (quasi-compact) et l'axiome de Haussdorf (séparé).
Un espace métrique est nécessairement séparé... Si tu travailles dans un espace muni d'une distance, un compact est donc un quasi-compact.
Enfin, si tu travailles dans
ensemble fermé, ouvert, disjoints... les truc de bases ...
Bonjour,
Pour détailler un peu ce qui disait Romain des Bois, la propriété de Borel-Lebesgue dit que de tout recouvrement de ton ensemble compact par des ouverts tu peux extraire un recouvrement fini.
Si K est compact et (Ui) une famille d'ouverts telle que
(A priori on parle d'ouvert de K, mais si K est un sous-ensemble de quelque chose de plus gros, disons X, avec la topologie induite il revient au même de considérer des ouverts de X)
On dit que K est compact si il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue et si il est séparé (propriété de Hausdorff) ce qui signifie que pour deux points quelconques dans K disons x et y, tu peux trouver un voisinage U de x et un voisinage V de y tels que
Si tu n'as pas fait de topologie "pour de vrai" il y a de bonnes chances que tout les espaces sur lesquels tu travailles vérifient cette propriété donc tu n'as pas vraiment à t'en inquiéter.
(rem : le fait de demander que ce soit séparé est typiquement français, dans la littérature, anglo-saxonne par exemple, on demande seulement qu'un compact vérifie la propriété de Borel-Lebesgue ce qui peut induire de légères différences dans les énoncés)
La définition avec la propriété de Borel-Lebesgue est la plus générale mais il existe d'autres formulations de la compacité qui sont équivalentes.
Dans un espace métrique : un ensemble K est compact si de toute suite tu peux extraire une suite convergente (toute suite a une valeur d'adhérence dans K).
Dans un espace vectoriel de dimension finie : un compact est simplement un fermé borné (ex : segment de
Voilà j'espère que cela te sera utile. Je ne sais pas dans quelle optique tu posais ta question mais si tu es en prépa ou en licence (1 et 2 en tout cas) c'est la caractérisation par les suites qui est utilisée. Si tu as d'autres questions ce serait sympa que tu nous indiques avec quelle caractérisation tu préfères travailler car celle par Borel-Lebesgue nécessite un peu d'adaptation si tu n'es pas familier avec la topologie⋅
A plus.
ouahou!Bonjour,
Pour détailler un peu ce qui disait Romain des Bois, la propriété de Borel-Lebesgue dit que de tout recouvrement de ton ensemble compact par des ouverts tu peux extraire un recouvrement fini.
Si K est compact et (Ui) une famille d'ouverts telle que
(A priori on parle d'ouvert de K, mais si K est un sous-ensemble de quelque chose de plus gros, disons X, avec la topologie induite il revient au même de considérer des ouverts de X)
On dit que K est compact si il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue et si il est séparé (propriété de Hausdorff) ce qui signifie que pour deux points quelconques dans K disons x et y, tu peux trouver un voisinage U de x et un voisinage V de y tels que
Si tu n'as pas fait de topologie "pour de vrai" il y a de bonnes chances que tout les espaces sur lesquels tu travailles vérifient cette propriété donc tu n'as pas vraiment à t'en inquiéter.
(rem : le fait de demander que ce soit séparé est typiquement français, dans la littérature, anglo-saxonne par exemple, on demande seulement qu'un compact vérifie la propriété de Borel-Lebesgue ce qui peut induire de légères différences dans les énoncés)
La définition avec la propriété de Borel-Lebesgue est la plus générale mais il existe d'autres formulations de la compacité qui sont équivalentes.
Dans un espace métrique : un ensemble K est compact si de toute suite tu peux extraire une suite convergente (toute suite a une valeur d'adhérence dans K).
Dans un espace vectoriel de dimension finie : un compact est simplement un fermé borné (ex : segment de
Voilà j'espère que cela te sera utile. Je ne sais pas dans quelle optique tu posais ta question mais si tu es en prépa ou en licence (1 et 2 en tout cas) c'est la caractérisation par les suites qui est utilisée. Si tu as d'autres questions ce serait sympa que tu nous indiques avec quelle caractérisation tu préfères travailler car celle par Borel-Lebesgue nécessite un peu d'adaptation si tu n'es pas familier avec la topologie⋅
A plus.
franchement c'est un peu chaud pour moi, je n'ai jamais fait de "la vrai topologie" je suis plus physicien que matheux et ca me parle pas du tout.
En tout cas merci de ton aide!
ps: c'etait juste par curiosité que je posé cette question car j'ai plusieurs fois rencontrée cette notion de compacité sans comprendre
D'accord donc si tu fais de la physique, a priori ce que tu as besoin de savoir c'est que les compacts sont les fermés bornés dans un espace vectoriel de dimension finie.
C'est assez utile comme notion car dans ce cadre, l'image d'un compact par une fonction continue est encore compacte. En particulier, sur un compact toute fonction continue est bornée et atteint ses bornes. Ça donne l'existence d'extrema de la fonction dans ton ensemble, donc de points critiques si ta fonction est assez régulière.
merci beaucoup!
en effet c'est plus ce type d'informations que je cherche....
Si tu travail sur un espace métrique (ie que ta topologie est donné par une distance ou une norme) il existe une autre définition de la compacité :
K est compact si et seulement si pour toute suite (x_n) dans K, on peut extraire une sous suite convergente, ie il existe phi :N->N une injection croissante tel que x_phi(n) converge.
dans tous les cas (enfin, si on inclu la séparation dans la définition, mais celle ci est automatique sur les espaces métrique ) la compacité a les propriété suivante :
1)un sous espace compact d'un espace topologique est fermé.
2)l'image d'un compact par une application continu est compact.
3)les sous espaces compact d'un compact sont ces sous espaces fermé
4) les compact d'un espace vectoriel réel de dimension fini (pour la topo canonique) sont les fermé borné
5)toute fonctions continu à valeur dans R sur un compact est borné (corralaire de 2 et 4 )
6) une fonction continu sur un compact est uniformément continu.
7) une bijection continu sur un compact est un homéomorphisme.
etc etc...
c'est une propriété extrêmement importante. intuitivement, un compact, c'est un espace fermé et qui reste fermé même si on agrandit l'espace sous jacent.
merci beaucoup tous!
c'est un peu restrictif peut-être. Il me semble que les physiciens s'intéressent par exemple aux sous-groupes compacts de SL(n), ou à des questions d'analyse fonctionnelle où on est assez loin des R^n.
Certes, mais vu que l'auteur du premier message semblait néophyte en la matière j'ai donné le cadre le plus basique. De toute façon la plupart des théories mathématiques ont des applications en physique, a des niveaux divers. Cependant je pense qu'avant de s'intéresser au problème que tu évoques ils ont un cours de maths sur le sujet
mais SL(n) est une variété de dimension finie, donc ses compacts sont encore les fermés bornés..
Ah bon?
Si tu prends ]0,1[ c'est une sous variété de R, si tu la regarde en tant que telle c'est une variété fermée bornée... tout sauf compacte.
C'est vrai pour une sous variétée fermée de R^n par contre, puisque dans R^n un ensemble borné est rel compact.
Oui pardon, j'ai été un peu vite.
Mais SL(n) est bien fermé dans l'espace des matrices carrées, puisque c'est l'image réciproque du fermé {1} par l'application déterminant, qui est continue.
On s'est compris
je pensais que ]0,1[ etait un ensemble ouvert puisque les valeurs limites sont exclus?
desolé ce n'est pas du niveau de la discussion mais bon....
]0,1[ est ouvert dans R. (C'est ce qu'on sous entend quand on dit couramment "]0,1[ est ouvert")
Par contre, ]0,1[ est fermé dans ]0,1[.
ah ok merci
