Bonjour,
Les injections de Sobolev conparent les hiérarchie(espaces de sobolev) et
(espaces de fonctions "classiques"
-fois continûment différentiables et dont la
ième dérivée est
-hölderienne). L'intérêt étant de montrer que des fonctions suffisamment faiblement différentiables peuvent être différentiables au sens classique et donc solutions classiques de problèmes aux dérivées partielles. Je sais que ça n'a pas beaucoup d'intérêt mais je m'étonne que dans les livres on ne trouve pas de remarques sur la réciproque de ses injections (en tout cas j'ai pas encore trouvé), à savoir quelle est la régularité
de dérivées au sens des distributions de fonction hölderiennes.
Exemple:
On sait que
l'inclusion réciproque n'est pas vraie et il y a un contre-exemple simplissime (et pourtant jamais cité dans les livres) puisque c'est probablement la fonctionla plus simple
il est clair queest
-hölderienne puisque, si
et
par exemple
Cependant,n'est pas dans
. Puisque
est dérivable sur
et que sa dérivée est intégrable sur
, sa dérivée au sens des distribution coïncide avec sa dérivée classique
qui n'est pas
puisque
C'est intuitif puisque le carré de son taux d'accroissement est tel que
etn'est pas intégrable par critère de Riemann. Selon cette même intuition j'ai tendance à conjecturer que pour tout
ma question est donc de savoir si cette conjecture est vraie
Autrement dit,
Pourfixé, existe-t-il une constante
qui ne dépend que de
telle que pour toute fonction
de
dans
telle que
(et doncest a fortiori continue)
et pour toute fonction
?
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