Réciproque des injections de Sobolev

[KerLannais]

Bonjour,

Les injections de Sobolev conparent les hiérarchie (espaces de sobolev) et (espaces de fonctions "classiques" -fois continûment différentiables et dont la ième dérivée est -hölderienne). L'intérêt étant de montrer que des fonctions suffisamment faiblement différentiables peuvent être différentiables au sens classique et donc solutions classiques de problèmes aux dérivées partielles. Je sais que ça n'a pas beaucoup d'intérêt mais je m'étonne que dans les livres on ne trouve pas de remarques sur la réciproque de ses injections (en tout cas j'ai pas encore trouvé), à savoir quelle est la régularité de dérivées au sens des distributions de fonction hölderiennes.

Exemple:
On sait que

l'inclusion réciproque n'est pas vraie et il y a un contre-exemple simplissime (et pourtant jamais cité dans les livres) puisque c'est probablement la fonction la plus simple

il est clair que est -hölderienne puisque, si et par exemple

Cependant, n'est pas dans . Puisque est dérivable sur et que sa dérivée est intégrable sur , sa dérivée au sens des distribution coïncide avec sa dérivée classique
qui n'est pas puisque

C'est intuitif puisque le carré de son taux d'accroissement est tel que

et n'est pas intégrable par critère de Riemann. Selon cette même intuition j'ai tendance à conjecturer que pour tout

ma question est donc de savoir si cette conjecture est vraie
Autrement dit,


Pour fixé, existe-t-il une constante qui ne dépend que de telle que pour toute fonction de dans telle que

(et donc est a fortiori continue)
et pour toute fonction
?
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[KerLannais]

oups, petite erreur

En fait c'est

avec

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Je n'ai pas encore réfléchis à ta question, mais je suis curieux de savoir sur quoi tu travailles : j'ai encore vu très peu de textes utilisant les espaces de fonctions holdériennes, a part les articles (imbuvables) de Tolksdorf et Evans sur la régularisation pour le p-laplacien...
Et moi non plus je confirme que je n'ai jamais rien vu concernant ton problème dans la littérature. D'ailleurs, cela ne fait sens que pour les injections de lorsque N<mp. Et donc plutot pour N petit : il me semble que ces injections sont assez peu utilisés en analyse des edp et sont même omises dans certains manuels !

[KerLannais]

J'en ai pourtant eu besoin à plusieurs reprises mais c'est vrai que l'on se sert plus des injections dans les Lp mais l'injection dans les espaces Ck sert à montrer l'existence de solutions classiques. Il est connu que l'équation de la chaleur avec condition de Dirichlet et une condition initiale C2 en dimension supérieur à 1 n'admet pas de solution classique de façon générale pour un terme source seulement continu, par contre si le terme source est un chouilla höldérien alors c'est bon. Je travail sur des EDP non linéaires mais je me pose ce genre de question à titre personnel (pour le fun). En fait j'ai eu une réponse sur un autre forum, on peut trouver un exemple de fonction -hölder qui est W1,p pour p<2 mais qui n'est pas , mais il faut prendre une fonction qui oscille. D'où ma nouvelle question, et si on prend une fonction monotone

Juste pour te faire entrevoir que les fonctions H1 et les fonction -hölder sont pas mal proches, considère une fonction affine sur





la norme H1 et la norme -hölder sont donc identiques pour une fonction affine (et les fonctions affines par morceaux sont denses dans H1).

Donc oui, il n'y a pas bcp de différences entre les espaces de fonctions hölderienne et les espaces de Sobolev et d'ailleurs il y a des théories d'existence pour les edp dans ces deux familles d'espaces même si les espaces de Hölder ont tendance à tomber dans l'oubli ils restent très utiles, ce sont les premiers type d'espaces dans lesquels ont a construit une théorie d'existence pour les EDP, (tu peux regarder le Gilbard-Trudinger, le Friedman, les livres de Ladizenskaya... toutes ces références sont dans le Brézis).

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