Groupes

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question:

Cette proposition est-elle vraie ?:
G groupe additif d'ordre pⁿ, p premier, alors tout élément est d'ordre p.

Si elle fausse, devient-elle vraie si G est un corps ?

Merci pour réponses.
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[invitec7c23c92]

C'est faux : G = Z/p^nZ est un contre exemple.


Si G est en plus un corps, c'est encore moins vrai, car un élément d'ordre p est une racine du polynôme X^p-X. Or ce polynôme admet au plus p racines.

[invite57a1e779]

un élément d'ordre p est une racine du polynôme X^p-X.

Attention, tu confonds la structure additive, pour laquelle d'ordre signifie , et la structure multiplicative, pour laquelle d'ordre signifie , et non .

Pour la structure additive d'un corps à éléments, tout élément est effectivement d'ordre , étant la caractéristique du corps.

Cela permet par exemple de prouver qu'on ne peut pas compléter la structure additive de par une multiplication de façon à obtenir un corps.

[invitec7c23c92]

Ah oui pardon.
(Enfin sauf 0, pour pinailler, mais j'imagine qu'il faut comprendre dans la question que 0 est exclus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Merci pour vos réponses.
J'ai une autre question:
Je considère toujours le corps fini K de cardinal pⁿ.
Il me semble que le groupe multiplicatif K* d'ordre pⁿ-1 est toujours cyclique mais je n'arrive pas à le démontrer. Peut-être est-ce faux ?

Pouvez-vous m'éclairer ?

[invite57a1e779]

Il faut utiliser la décomposition du groupe en groupes primaires, dont on montre qu'ils sont cycliques.

[invite97a526b6]

Il faut utiliser la décomposition du groupe en groupes primaires, dont on montre qu'ils sont cycliques.

Ah oui !:
Tu veux dire que le groupe (K,+), d'ordre pⁿ avec p premier, est un p-groupe et est, en conséquence, somme directe de n sous-groupes d'ordre p (en effet: la caractéristique de K étant p, tout élément de K est d'ordre p dans le groupe (K,+)). Ces n sous-groupes, ayant tout élément d'ordre p, sont cycliques.
Est-ce bien ça ?

[invite97a526b6]

Ah oui !:
Tu veux dire que le groupe (K,+), d'ordre pⁿ avec p premier, est un p-groupe et est, en conséquence, somme directe de n sous-groupes d'ordre p (en effet: la caractéristique de K étant p, tout élément de K est d'ordre p dans le groupe (K,+)). Ces n sous-groupes, ayant tout élément d'ordre p, sont cycliques.
Est-ce bien ça ?

Ce que j'ai dit est juste mais ne répond pas à la question qui concerne le groupe multiplicatif K*. Excuses !

[invite57a1e779]

Je veux dire que le groupe multiplicatif d'ordre est produit de groupes -primaires, où parcourt l'ensemble des facteurs premiers de .

[invite97a526b6]

Merci pour vos réponses.
J'ai une autre question:
Je considère toujours le corps fini K de cardinal pⁿ.
Il me semble que le groupe multiplicatif K* d'ordre pⁿ-1 est toujours cyclique mais je n'arrive pas à le démontrer. Peut-être est-ce faux ?

Pouvez-vous m'éclairer ?

Cette question reste posée... Elle concerne le groupe multiplicatif K*.

[invite97a526b6]

Je veux dire que le groupe multiplicatif d'ordre est produit de groupes -primaires, où parcourt l'ensemble des facteurs premiers de .

Nos réponses se sont croisées: je crois bien que ta réponse répond à la question. Je vais l'étudier... Merci!

[invite57a1e779]

Ce groupe multiplicatif est cyclique car il est produit de groupes cycliques d'ordres deux à deux premiers entre eux.

[invite97a526b6]

Je veux dire que le groupe multiplicatif d'ordre est produit de groupes -primaires, où parcourt l'ensemble des facteurs premiers de .

Après étude, je ne suis pas trop d'accord avec ta démonstration. A ce compte tout groupe d'odre pⁿ-1 serait cyclique ?
Peut-être ai-je mal compris.

Par contre je suis convaincu que K* est bien cyclique par la démonstration page 4 du document dont voici le lien:
http://robert.rolland.acrypta.com/up...corpsfinis.pdf