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Matrices Semblables



  1. #1
    Ryuk

    Matrices Semblables


    ------

    Bonjour j'appelle à l'aide , j'ai un exercice que je n'arrive même pas à démarrer,en fait je doit faire une récurrence je demande donc une aide à l'initialisation svp.

    On a un matrice carré A (2x2) telle que A²=-In
    Il faut montrer que A est semblable à B , sachant que B est une matrice (2x2) première ligne on a (0 -1) deuxième ligne (1 0). Je sais qu'en fait faut trouver une sorte de changement de base mais je ne comprends rien :S

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  4. #2
    Thorin

    Re : Matrices Semblables

    Salut,
    connais-tu la diagonalisation ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #3
    Ryuk

    Re : Matrices Semblables

    Ah non pas du tout désolé.

  6. #4
    ericcc

    Re : Matrices Semblables

    Soit x un vecteur n'appartenant pas au noyau de A (il existe car A n'est pas l'application nulle); peux tu montrer que {x,A(x)} est une base ?
    Quelle est la matrice de A dans cette base ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ryuk

    Re : Matrices Semblables

    J'en suis arrivé a montrer que c'est une base ce que vous avez dit, en nommant une base (e1,e2), on a A(e1)=e2 ,A(e2)=-e1, il suffit de montrer que (A(e1),e1) est une base mais comment savoir sa liberté ? certes combinaison linéaire nulle et?..

  9. #6
    Antho07

    Re : Matrices Semblables

    Bonsoir, je ne suis pas sur de comprendre exactement ce que tu as fait:
    Faisons ce que suggère Thorin:
    On prend un vecteur qui n'est pas dans le noyaux de :

    On prétend que la famille est une base.

    Montrons que la famille est libre (Puisque qu'elle est de taille 2 dans un espace vectoriel de dimension 2, on aura qu'il s'agit bien d'une base si on prouve la liberté).

    Soit deux scalaires du corps de base R ou C je suppose...tels que

    Le but est de montrer que .

    Comment faire?

    On a une information dans l'énonce sur la matrice A².
    Cela suggere donc d'appliquer A à l'égalité:



    (Une application linéaire envoit toujours 0 sur 0)

    Utilise maintenant la linéarité :
    Tu obtiens une deuxieme equation:
    multiplie par exemple cette deuxieme equation par ....

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