Analyse de sensibilité par Sobol' Monte-Carlo

[Maweth]

Bonjour,

j'étudie un système de type "boîte noir" : Y = f (X), X est un vecteur de "grande dimension" (23 dans mon cas), Y est un scalaire, et f est une fonction inconnue fortement non linéaire.

Je fais une analyse de sensibilité dessus en utilisant les indices de Sobol' et en les évaluant par la méthode de Monte-Carlo.

S_i = V_i / V

avec V = E [Y²] - (E [Y])² (Variance de f)

et V_i = V (E [Y/X_i])

Ces indices me donnent des informations sur l'influence de chaque variable d'entrée sur la variance de la sortie. Leur calcul ne me pose aucun problème, cependant leur interprétation reste obscure, malgré les nombreux articles que j'ai lu. En particulier j'obtiens des indices négatifs et d'autres positifs.
Ma question est : que signifie un indice de sensibilité négatif, en comparaison à un positif ?
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[Maweth]

Je complète une peu mon propos.

Décomposition de Sobol' :
Si f est intégrable sur [0,1]^k, elle admet une unique décomposition :


Je passe sur les différentes propriétés, mais on peut écrire, V la variance de f comme :


avec


...

Les indices de sensibilité sont calculés par :

avec

Le calcul des S_i par la méthode de Monte-Carlo se fait de la manière suivante :



L'estimation des indices de sensibilité du premier ordre () consiste
à estimer la quantité :


La variance de Y est classiquement estimé par Monte-Carlo. Sobol propose d'estimer la quantité U_i comme une espérance classique mais en faisant varier dans les deux appels toutes les variables sauf la variable X_i. Cela nécessite deux échantillons de réalisations des variables d'entrée, que nous notons et :


Les indices de sensibilité du premier ordre sont alors estimés par :


(définitions tirées de http://math.univ-lille1.fr/~jacques/...ienJACQUES.pdf)

J'obtiens quand j'implémente cette méthode des indices de sensibilité négatifs.
Est-ce que c'est normal ? Si oui, comment interpréter de tels indices ?

Merci

[Scorp]

Si étant un rapport de variances (Vi / V) et une variance étant positive (car c'est le carré d'un écart-type), je vois mal comment on pourrait obtenir des Si négatif ???

Pour la méthode je vais voir ca de plus près dès que j'ai un peu de temps

[Maweth]

Oui il me semblait bien que la variance était une grandeur positive. Peut être cela vient-il du fait que je fais une approximation de cette variance.

Sur un nombre suffisamment important d'échantillons (N grand), mes indices sont tous positifs. Donc la fiabilité de mon résultat dépend beaucoup (trop à mon goût) de mon échantillonnage. Je pense avoir compris d'où venaient ces valeurs négatives. Quoi qu'il en soit merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite96ea64f3]

Bonjour,

Ayant réalisé un échantillonnage de type Monte Carlo, je commence également à m'intéresser aux indices de Sobol.
Je n'ai pas non plus trouvé d'information sur le sujet, hormis que l'indice de Sobol était un indice de sensibilité. Il me smeble donc que plus sa valeur est élevée (et normalement toujours positif), plus la réponse est sensible au paramètre fixé (Xi dans V(Y/Xi)).
Est-ce que vous pouvez pas tester sur deux paramètres, un dont vous savez pertinemment qu'il n'est pas influent au contraire du deuxième qui l'est ?
Je devrais avoir mes 1ers résultats la semaine prochaine, je vous tiens au courant.

[Maweth]

En effet, l'indice de Sobol' est un indice de sensibilité, c'est à dire que pour un modèle où , les indices de Sobol' mesure la variation de la sortie par rapport à la i-ème entrée.

Comme tu l'a dit, plus ces indices sont grands, plus l'entrée est important. Le principal avantage de ces indices, mise à part leur robustesse (marche quelque soit le modèle), est qu'il sont quantitatifs.
En effet et du coup cela te permet de chiffrer en pourcentage ta sensibilité pour chaque entrée et combinaison d'entrées.
La seule chose qui fera varier ces indices ce sera ton échantillonnage. plus celui ci est fin, plus tes indices seront précis, mais tes calculs seront du coup plus nombreux (donc plus long).

Bon courage pour tes résultats.

[invite96ea64f3]

Salut à tous,

j'ai mes premiers résultats et la somme de mes indicves Si ne vaut pas un...
J'ai trois sorties à mon modèles pour une quarantaine d'entrée, j'ai fait un test de Sobol avec N = 10000 échantillons et je trouve des sommes entre 0.84 et 0.93. ça fait un gros écart malgré l'incertitude, non ?
ça peut venir de ma macro Excel mais je l'ai revérifiée pourtant...
Une idée ? Astuce ?

Merci !

[invite96ea64f3]

Il me semble avoir trouver, la différence entre la somme des indices Si de 1er ordre et 1 correspond à la sensibilité de la sortie aux combinaisons de variables d'entrées (X1-X2, X1-X3 par exemple, ...).
Etes-vous d'accord avec ça ?
Merci !

[Maweth]

C'est exactement ça, ton modèle est sensible aux entrées multiples à hauteur d'environ 10%. C'est à dire, que la variation de ta sortie est due pour 10% à la combinaison de 2 ou plusieurs entrées. Tu peux utiliser les indices de sensibilité totaux qui donnent des informations complémentaires sans augmenter le nombre de simulations pour avoir plus de précision. Pour plus d'information je te conseille de lire les articles de A. Saltelli (en particulier "Variance based sensitivity analysis of model output").

[invite96ea64f3]

Re-bonjour !
Me revoilà pour j'espère une dernière petite question.
Dans le calcul de l'indice de Sobol Si, on forme des matrices A, B, Ci de paramètres d'entrée du style (en supposant k paramètres d'entrée et N echantillons) :
A [ [X(1,1)...X(1,k)]...[X(N,1)...X(N,N)] ]
B [ [X'(1,1)...X'(1,k)]...[X'(N,1)...X'(N,N)] ]
Ci [ [X'(1,1)...X(1,i)...X'(1,k)]......[X'(N,1)...X(N,i)...X'(N,N)] ]
On calcule les réponses de chacune de ces séries d'échantillons Y(A), Y(B) et Y(C)
Ainsi l'indice de Sobol Si est donné par :
Si = (<Y(A),Y(C)> - f₀²)/Var(Y)

Cependant si je prends la moyenne au carré f₀² sur l'ensemble de mes données, je trouve des indices Si "bizarres" (souvent négatifs ou somme supérieure à 1, etc...)
Et en prenant <Y(A),Y(B)> à la place, ça marche tout de suite mieux...
Je ne suis pas du tout statisticien mais ça me semblait plus intuitif, après pour le justifier c'est une autre paire de manche...
Qu'en pensez-vous ? Comment ça se justifie à votre avis ?

Désolé de ne pas avoir utiliser l'éditeur mathématique...

[Maweth]

Je le réécris avec l'éditeur d'équations :

Tableau de mes N échantillons de k entrées


Autre tableau avec d'autres échantillons


Tableau avec k-1 coefficients cellules de A et une cellule de B pour les N échantillons


La formule de base est : avec l'espérance.

Saltelli, dans Variance based sensitivity analysis of model output, propose une autre estimation des indices de sensibilité :


Cette nouvelle estimation est sensé être plus précise, je pense que tu peux l'utiliser à la place de l'estimation classique, mais comme je te l'ai dit dans mon poste précédent, essaie de trouver l'article qui en parle, au moins pour le citer ou appuyer tes calculs.

[invite96ea64f3]

Super merci !
j'avais bien récupérer un de ces articles mais pas lu en entier...
Et donc au final, on peut citer deux articles sur le sujet (le premier de Saltelli, le second probablement l'aval de Sobol sur le sujet) :

A. Saltelli, Making best use of model valuations to compute sensitivity indices, Computer Physics Communications 145 (2002) 280-297.

I.M. Sobol', S. Tarantola, D. Gatelli, S. Kucherenko, W. Mauntz, Estimating the approximation error when fixing unessential factors in global sensitivity analysis, Reliability Engineering and System Safety 92 (7) (2007) 957-960.

Merci pour tout

[Axisse]

Bonjour à tous,

je cherche à évaluer la sensibilité d'une fonction exponentielle à trois paramètres.
Si l'on note mon problème par l'équation suivante : Y = f(X1,X2,X3)
J'ai créé une matrice 3D avec les résultats Y en fonction des variations des paramètres X1, X2 et X3.
D'après la littérature (Saltelli et al. "global sensitivity analysis"), je devrais faire une analyse OAT ou bien calculer l'indice de Sobol' du premier ordre.
Ma première question est la suivante, quel est la différence entre les deux?
Ma seconde question porte sur le calcul de l'indice de Sobol' : n'étant vraiment plus habitué aux stats, je n'arrive pas à comprendre concrètement quels calculs je dois exécuter?
A quoi correspond les deux variances divisées lors de l'estimation de cet indice de sensibilité?

En vous remerciant d'avance!