[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

[invitec317278e]

c'est pas que ça ressemble à la tienne, c'est carrément que ça en découle directement
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[anthony_unac]

Par contre on a des identitées remarquables du genre

Je ne la connaissais pas celle la, merci de la présenter mais il reste à savoir maintenant si une telle identité remarquable est exploitable dans le cas d'une réécriture de n?+(n+1)? ?
Peut être en transformant (n+1)? en 4*b^4 ce qui nécessite que (n+1)? soit divisible par 4.

Une propriété de la puissancielle est la suivante :
****************************** ******
m? est pair si m est pair

Sachant que la troisième conjecture impose la primalité de n, il est évident que n+1 est pair et donc (cf propriété) (n+1)? est pair également. Il est donc divisible par 2 de la dire qu'il est divisible par 4 il reste un bout de chemin à faire.

Pour ma part, j'ai déniché sur le bon vieux site de Gérard Villemin la conclusion suivante :
a^n + b^n est divisible par (a + b) pour toutes les puissances n impaires.
Ainsi qu'une panoplie complète d'identités remarquables.

[invite986312212]

en tout cas tes nombres croissent très vite et donc ils pourraient être tous premiers sans que ça contredise le dit "théorème des nombres premiers" (cela juste pour avoir formulé la remarque la moins utile de ce topic...)

[inviteaf1870ed]

c'est pas que ça ressemble à la tienne, c'est carrément que ça en découle directement

Il y a celle de Brahmagupta qui est bien, elle découle de l'égalité en complexes |zz'|²=|z|²|z'|², en posant z=x+iy et z'=x'+iy', il vient :

(xx'-yy')²+(x'y+xy')²=(x²+y²)(x'²+y '²)

Et je crois me souvenir qu'on peut en tirer une des quaternions

[anthony_unac]

en tout cas tes nombres croissent très vite et donc ils pourraient être tous premiers sans que ça contredise le dit "théorème des nombres premiers" (cela juste pour avoir formulé la remarque la moins utile de ce topic...)

A première vue oui et c'était d'ailleurs ça l'idée de la conjecture.
En partant de la notation puissancielle j'envoyais péter les ordinateurs bien trop faibles en puissance de calcul pour tester quoi que ce soit et d'autre part je parviens très vite à générer des nombres énormes ce qui m'arrange vu qu'on sait très bien que les nombres premiers se rarifient mais mais mais c'était sans compter sur ce fabuleux contre exemple donné par un intervenant de l'autre forum en privé :

53?+54?

[anthony_unac]

Il y a celle de Brahmagupta qui est bien, elle découle de l'égalité en complexes |zz'|²=|z|²|z'|², en posant z=x+iy et z'=x'+iy', il vient :

(xx'-yy')²+(x'y+xy')²=(x²+y²)(x'²+y '²)

Et je crois me souvenir qu'on peut en tirer une des quaternions

A moins que Brahmagupta en est fait plusieurs, voici l'identité remarquable de Brahmagupta telle qu'on peut la voir sur wikipédia :



Après je ne vois pas ce qu'on pourrait en faire de cette identité remarquable dans le cas d'une réécriture den?+(n+1)? vu qu'elle se présente sous la forme d'une quasi différence de deux carrés.

[invite7753e15a]

Le point d'interrogation est la notation utilisée pour noter la puissancielle.
Vous pouvez retrouver ici la définition de la puissancielle.

Cordialement
Anthony Canu

Merci beaucoup

[invite9a322bed]

Par contre on a des identitées remarquables du genre

C'est l'identité de Sophie Germain !

Voici un document d'un ami qui a essayé de regrouper de nombreuses identités, ça peut vous servir !
http://conficiuskyn.free.fr/mathsidentities.pdf

[Elie520]

Et au fait, la personne qui a proposé ces conjectures a dit qu'ainsi, on pourrait générer des nombres premiers autant que bon nous semblerait... Mais dorénavant, cela n'est plus le cas parce que avant tout, si cette conjecture venait à être vraie, il faudrait trouver premier tel que le soit aussi, et cela ne se trouve pas partout ^^

[anthony_unac]

C'est l'identité de Sophie Germain !

Voici un document d'un ami qui a essayé de regrouper de nombreuses identités, ça peut vous servir !
http://conficiuskyn.free.fr/mathsidentities.pdf

Exact il me semblait bien que j'avais vu ca trainer quelquepart et plus précisément ici.
Sacrée Sophie il fallait avoir du courage à l'époque pour faire scientifique quand on est une femme et le résultat est au rendez vous.

Merci mx6, ce document est vraiment un bon condensé et j'ai été d'ailleurs heureux de retrouver certains résultats comme la formule de Héron par exemple.

[anthony_unac]

Et au fait, la personne qui a proposé ces conjectures a dit qu'ainsi, on pourrait générer des nombres premiers autant que bon nous semblerait... Mais dorénavant, cela n'est plus le cas parce que avant tout, si cette conjecture venait à être vraie, il faudrait trouver premier tel que le soit aussi, et cela ne se trouve pas partout ^^

Dorénavant, il devient rude effectivement de trouver n premier tel que n+(n+1) le soit aussi.
Ceci dit, la conjecture n°3 est fausse aussi. La preuve avec ce contre exemple tonitruant :
53?+54? qui soi disant est divisible par 5

[Elie520]

Eh bien démontre-le nous s'il te plait ^^

[anthony_unac]

Eh bien démontre-le nous s'il te plait ^^

Eh bien écoute ça va etre simple, je vais te donner la démonstration de l'homme qui à proposé ce contre exemple :

Bon alors pour montrer que 53?+54? est divisible par 5, on examine les restes de la division euclidienne de 53^n par 5.

Je fais comme dans la fiche de maths ci-jointe (voir exemple 1 du 3) : http://www.ilemaths.net/maths_t-arithmetique-cours.php

On remarque alors que
53^(4k)=1 mod 5
53^(4k+1)=3 mod 5.
53^(4k+2)=4 mod 5
53^(4k+3)=2 mod 5
Or 52? est divisible par 4. Donc 53^(52?) = 1 mod 5.

On remarque de même que :
54^(2k)=1 mod 5
54^(2k+1)=4 mod 5
53? est clairement impair. Donc 54^(53?)=4 mod 5.
Donc 53?+54? = 0 mod 5.
5 divise 53?+54?

[Elie520]

Stylééééé merci

[KerLannais]

53?+54? qui soi disant est divisible par 5

oui je suis arrivé à la même conclusion mais trop tard hélas
la preuve est simple, elle utilise les propriétés de congruences (qui régulièrement disparaissent du programme d'option math de terminal S)

On a (puisque )


()

de sorte que puisque , le reste dans la division par de est .



puisque est impair, le reste dans la division par de est . On a alors

c'est donc un multiple de .

[Elie520]

Non ne t'inquiètes pas, elle sont toujours au programme

[invite5150dbce]

Comme l'a dit Elie, les congruences sont au programme de spé en TS.

Pour avoir suivi la discussion dès son ouverture et pour ne pas avoir participer par manque d'intérêt (ne le prend pas mal), je voudrais savoir sur quoi reposent tes conjectures ? Est-ce juste un tatonnement, une intution ?
Si elles reposeraient sur une démonstration ou une idée de démonstration, il serait plus probable qu'elles soient justes. Ensuite je ne critiques pas ta démarche assez expérimentale qui ressemble aux sciences physiques. C'est une façon originale de faire des mathématiques et pas mal de mathématiciens passent par là. Mais malgré tous tes tests et tes ajouts de condition, je craints que tu n'arrives à fournir une conjecture viable. La question de la répartition des nombres premiers est une question assez complexe. Si ça t'intéresse, tu peux essayer de t'informer sur l'hypothèse de riemann

[anthony_unac]

Comme l'a dit Elie, les congruences sont au programme de spé en TS.

Pour avoir suivi la discussion dès son ouverture et pour ne pas avoir participer par manque d'intérêt (ne le prend pas mal), je voudrais savoir sur quoi reposent tes conjectures ? Est-ce juste un tatonnement, une intution ?
Si elles reposeraient sur une démonstration ou une idée de démonstration, il serait plus probable qu'elles soient justes. Ensuite je ne critiques pas ta démarche assez expérimentale qui ressemble aux sciences physiques. C'est une façon originale de faire des mathématiques et pas mal de mathématiciens passent par là. Mais malgré tous tes tests et tes ajouts de condition, je craints que tu n'arrives à fournir une conjecture viable. La question de la répartition des nombres premiers est une question assez complexe. Si ça t'intéresse, tu peux essayer de t'informer sur l'hypothèse de riemann

La répartition des nombres premiers est une science expérimentale ou il y a beaucoup d'observations, peu de conjectures et encore moins de démonstrations (cf. les travaux sur les écarts entre nombres premiers "les champions sauteurs" par exemple).
A ce titre, il ne faut pas être surpris par l'approche un peu moyenne sur le plan mathématique que je peux avoir avec la dite conjecture qui ne cesse de se renforcer au fur et à mesure qu'elle se heurte aux contres exemples.
Concernant le peu d'intérêt que tu portes au topic, je peux le comprendre au sens ou c'est peu mathématique, peu courant aussi et les gens aujourd'hui se sentent perdus lorsqu'il sorte des sentiers battus.
Alors face a ce vaste foutoir que forme les nombres premiers, les matheux de la rigueur se taisent et les gens de l'expérimentation s'expriment.

[anthony_unac]

oui je suis arrivé à la même conclusion mais trop tard hélas
la preuve est simple, elle utilise les propriétés de congruences (qui régulièrement disparaissent du programme d'option math de terminal S)

On a (puisque )


()

de sorte que puisque , le reste dans la division par de est .



puisque est impair, le reste dans la division par de est . On a alors

c'est donc un multiple de .

Oui c'est fort d'avoir déniché ce contre exemple.
D'ou est venu l'idée de tester 53 et 54 ?
Mais bon il y a eu de la tricherie car il n'a pas utilisé la factorisation par les identités remarquables

Non plus sérieusement (ou presque) ce contre exemple m'amène à la conjecture n°4 :

Pour tout entier naturel n différent de zéro,
n?+(n+1)? est premier si et seulement si n, n+(n+1) et R.N (n) sont premiers.

[leg]

Alors face a ce vaste foutoir que forme les nombres premiers, les matheux de la rigueur se taisent et les gens de l'expérimentation s'expriment.

Ce qui est très bien...cela a surtout le mérite de débrider l'imagination sans s'occuper des formules et de penser que c'est possible, car en définitive, tous les chemins .....il suffit de trouver le plus court, de façon simple ...

le seul hic avec les nombres P, c'est que le chemin est tortueux et il n'est pas réglé comme la musique, sinon P.de Fermat aurait eu raison...

[anthony_unac]

Ce qui est très bien...cela a surtout le mérite de débrider l'imagination sans s'occuper des formules et de penser que c'est possible, car en définitive, tous les chemins .....il suffit de trouver le plus court, de façon simple ...

le seul hic avec les nombres P, c'est que le chemin est tortueux et il n'est pas réglé comme la musique, sinon P.de Fermat aurait eu raison...

J'ai pas trop compris le premier paragraphe
Concernant les nombres premiers, c'est typiquement le genre de sujet que j'aime confrontant les mathématiciens à une espèce de désordre sur lequel on peut chercher en vain à trouver un peu d'ordre ou de cohérence.
A ce jeu la, je crois que se sont les gens qui sont à mi chemin entre les maths et la physique qui s'en sortent le mieux mais dans l'ensemble tout le monde se casse les dents sur les premiers.

Cordialement
Anthony Canu

[anthony_unac]

Une personne prétend que 5?+6? est divisible par 53.
J'avoue que la pour le coup je ne comprends pas vraiment comment il a pu trouver ça

M'inspirant des outils de l'arithmétique modulaire, je parviens à :

5? = 47 mod53
6? = ... mod53 (je ne sais pas comment calculer ça)

Il est bien évident que :
6? = 6^(5?) mais 6?<>6^47 mod53

Si cette personne dit vrai cela signiefierait que :

6? = 6 mod53 de sorte que :
5?+6? = 47 mod53 + 6 mod53 = 53 mod53 = 0 mod53

Autrement dit 5?+6? est divisible par 53

[leg]

J'ai pas trop compris le premier paragraphe

Cordialement
Anthony Canu

ton raisonnement plus haut, est très bien, la rigueur ne démontre pas tout et loin s'en faut, et comme tu le dis si bien tout le monde navigue pour les nombres premiers, et quelques soient, les formules pour estimer la répartition des nombres premiers, ce n'est toujours qu'une... estimation....

Peut être qu'il faudra plus d'imagination pour trouver une meilleur compréhension sur la répartition des nombres P, et pas forcément des formules de plus en plus complexes à manipuler...car les conjectures les plus simples en sont toujours au même stades, et ce malgré l'artillerie mathématique, de plus en plus lourde et complexe..
bonne journée Anthony.

[anthony_unac]

En relisant les différentes conjectures, je m'aperçois qu'il y a quelque chose qui cloche dans tout ça.

Voici un argument heuristique simple:
****************************
Chaque conjecture repose sur le fait que le nombre "n?+(n+1)?" est premier moyennant certaines conditions sur n.
Or le nombre "n?+(n+1)?" devient rapidement gigantesque avec l'augmentation de n et nous savons que plus les nombres sont grands et moins ils ont de "chance" d'être premiers car les nombres premiers se rariefient.
Partant de la, il y a très très peu de chance que le nombre "n?+(n+1)?" soit premier pour n grand.

Souvenez vous des formules donnant (soi disant) que des nombres premiers. Elles se sont avérées justes pour des petites valeurs puis rapidement elles devenaient fausses.
Ce fut le cas par exemple des formules de Mersenne (2^p-1) et de Fermat (2^2^n + 1).
L'erreur commise est toujours la même, on se rassure de voir que ca fonctionne au départ pour des petites valeurs de n puis on en vient à généraliser trop hâtivement sans tenir compte de l'argument ennoncé ci-dessus.

Cordialement
Anthony Canu

[invite5150dbce]

C'est vrai tu as parfaitement raison

[anthony_unac]

C'est vrai tu as parfaitement raison

Partant de la, on peut se dire qu'il ne peut exister de formule explicite donnant que des nombres premiers.

Ca relèverait du miracle par exemple si 5?+6? était premier compte tenu du nombre de nombres premiers situés entre 2 et (5?+6?)^(1/2).
Si ne serait ce qu'un seul d'entre eux divise 5?+6? alors c'est foutu pour la primalité de 5?+6?

Essayons de raisonner avec les probabilités :
****************************** ****
Soit P l'événement le nombre 5?+6? est premier
Soit P\ l'événement le nombre 5?+6? n'est pas premier

La probabilité que 5?+6? ne soit pas un nombre premier est donnée par :
p(P\) = 1- p(P)
En supposant qu'il y ait équiprobabilité
p(P) = nb de cas favorable / nb de cas possibles
p(P) = pi(5?+6?) / (5?+6?)

donc
p(P\) = 1 - (pi(5?+6?) / (5?+6?))
p(P\) = ((5?+6?)-pi(5?+6?)) / (5?+6?) or pi(5?+6?)<<(5?+6?)
p(P\) ~ (5?+6?) / (5?+6?) = 1

La probabilité que le nombre (5?+6?) ne soit pas premier est donc proche de 1.

[invite986312212]

tu peux appliquer ce raisonnement à n'importe quel "grand" nombre. La proportion de nombres premiers parmi les n plus petits entiers tend vers zéro. Bon, et qu'est-ce que ça prouve?

[anthony_unac]

tu peux appliquer ce raisonnement à n'importe quel "grand" nombre. La proportion de nombres premiers parmi les n plus petits entiers tend vers zéro. Bon, et qu'est-ce que ça prouve?

Cela "prouve" que toutes les formules cherchant à fabriquer que des nombres premiers se *cassent la gueule* dès l'heure ou il s'agit de fabriquer des grands entiers premiers.

[Médiat]

Cela "prouve" que toutes les formules cherchant à fabriquer que des nombres premiers se *cassent la gueule* dès l'heure ou il s'agit de fabriquer des grands entiers premiers.

Et pourtant la formule de Minac et Willans marche (et il y en a d'autres).

[Médiat]

Pour revenir à votre conjecture initiale, je ne prends comme hypothèse de départ que "n est premier".

Soit n un nombre premier (n > 3) tel que

Sauf erreur :

n - 1 est pair et par conséquent (n - 1)? est congru à 0 modulo 4 (c'est à dire qu'il existe un k tel que (n - 1)? = 4k):


donc


(n + 1) est congru à 4 modulo 10, et n? est impair (donc il existe k tel que n? = 2k +1)

donc




et finalement

donc est divisible par 5.

Si vous ajoutez des conditions, il faudra vérifier qu'aucun nombre premier congru à 3 modulo 10 ne vérifie ces conditions.