[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

[anthony_unac]

Et pourtant la formule de Minac et Willans marche (et il y en a d'autres).

Les formules de Minac et Willans ne permettent pas de fabriquer de grands entiers premiers car elles reposent sur le calcul de factorielles et plus précisément sur le théorème de Wilson.
Elles exigent donc grossomodo de passer par le calcul de n! pour déterminer un nombre premier de la taille de n. C'est laborieux mais pire encore, ça n'est pas exploitable pour trouver mettons le 10 000eme nombre premier p_10000.

Après on peut définir dans un langage donné un programme donnant que des nombres premiers et cela en quelques caractères mais est ce cela que l'on cherche vraiment ?
Ce qu'on entend par formule est une formule exploitable au sens ou elle peut produire de grands entiers premiers sans sombrer dans l'impossibilité de les calculer.
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[invitec317278e]

Les formules de Minac et Willans ne permettent pas de fabriquer de grands entiers premiers car elles reposent sur le calcul de factorielles et plus précisément sur le théorème de Wilson.
Elles exigent donc grossomodo de passer par le calcul de n! pour déterminer un nombre premier de la taille de n. C'est laborieux mais pire encore, ça n'est pas exploitable pour trouver mettons le 10 000eme nombre premier p_10000.

Effectivement, ce n'est pas exploitable en pratique.

Mais on peut aussi dire que la puissancielle devient tellement grande tellement vite qu'en pratique, on va pas aller calculer 1000?, et donc, même si ça donne des grands nombres premiers, ça n'en donnera que quelques uns.

[Médiat]

Les formules de Minac et Willans ne permettent pas de fabriquer de grands entiers premiers car elles reposent sur le calcul de factorielles et plus précisément sur le théorème de Wilson.
Elles exigent donc grossomodo de passer par le calcul de n! pour déterminer un nombre premier de la taille de n. C'est laborieux mais pire encore, ça n'est pas exploitable pour trouver mettons le 10 000eme nombre premier p_10000.

Que cette formule ne soit pas exploitable n'est pas un scoop, mais qu'elle existe invalide votre affirmation du message #58, à savoir elle établit que votre raisonnement heuristique du message #56 ne prouve rien ; c'est du même ordre que si je disais il y a infiniment plus de nombre irrationnels que de rationnels, donc la probabilité que le nième terme d'une suite de réels soit un nombre rationnel (quelque soit la méthode) tend vers 0, alors que justement, il y a des formules ne donnant que des rationnels.

[anthony_unac]

Effectivement, ce n'est pas exploitable en pratique.

Mais on peut aussi dire que la puissancielle devient tellement grande tellement vite qu'en pratique, on va pas aller calculer 1000?, et donc, même si ça donne des grands nombres premiers, ça n'en donnera que quelques uns.

Oui c'est sur néanmoins, on n'est pas face à une somme interminable de puissancielles contrairement aux formules de Minac et Willans (qui elles fonctionnent) qui passent par une somme interminable de factorielles.

[invitec317278e]

Partant de la, on peut se dire qu'il ne peut exister de formule explicite donnant que des nombres premiers.

Ca relèverait du miracle par exemple si 5?+6? était premier compte tenu du nombre de nombres premiers situés entre 2 et (5?+6?)^(1/2).
Si ne serait ce qu'un seul d'entre eux divise 5?+6? alors c'est foutu pour la primalité de 5?+6?

Essayons de raisonner avec les probabilités :
****************************** ****
Soit P l'événement le nombre 5?+6? est premier
Soit P\ l'événement le nombre 5?+6? n'est pas premier

La probabilité que 5?+6? ne soit pas un nombre premier est donnée par :
p(P\) = 1- p(P)
En supposant qu'il y ait équiprobabilité
p(P) = nb de cas favorable / nb de cas possibles
p(P) = pi(5?+6?) / (5?+6?)

donc
p(P\) = 1 - (pi(5?+6?) / (5?+6?))
p(P\) = ((5?+6?)-pi(5?+6?)) / (5?+6?) or pi(5?+6?)<<(5?+6?)
p(P\) ~ (5?+6?) / (5?+6?) = 1

La probabilité que le nombre (5?+6?) ne soit pas premier est donc proche de 1.

Salut,
si justement, comme tu le supposes il y a équiprobabilité, ça veut dire qu'on est pas obligés de faire le raisonnement pour un grand nombre : on peut raisonner pour un petit, et la probabilité pour un grand sera la même.

raisonnons donc pour n=5
nombre de cas favorable : 4
nombre de cas total : 5

on en tire la conclusion que la probabilité que 5 soit premier est de 4/5, soit 0.8


Comme on a supposé équiprobabilité, la probabilité que n'importe quel nombre, en particulier (5?+6?) soit premier est 0.8...tu vois que c'est pas peine perdue de chercher une formule !

[anthony_unac]

Que cette formule ne soit pas exploitable n'est pas un scoop, mais qu'elle existe invalide votre affirmation du message #58, à savoir elle établit que votre raisonnement heuristique du message #56 ne prouve rien ; c'est du même ordre que si je disais il y a infiniment plus de nombre irrationnels que de rationnels, donc la probabilité que le nième terme d'une suite de réels soit un nombre rationnel (quelque soit la méthode) tend vers 0, alors que justement, il y a des formules ne donnant que des rationnels.

Reste à savoir (je le répète) ce que l'on entend par formule.
A ce tarif la je peux générer tout ce que je veux à l'aide d'un programme plus ou moins long (cf. les problèmes de complexité) mais est ce cela qu'on appelle formule ?

[anthony_unac]

Pour revenir à votre conjecture initiale, je ne prends comme hypothèse de départ que "n est premier".

Soit n un nombre premier (n > 3) tel que

Sauf erreur :

n - 1 est pair et par conséquent (n - 1)? est congru à 0 modulo 4 (c'est à dire qu'il existe un k tel que (n - 1)? = 4k):


donc


(n + 1) est congru à 4 modulo 10, et n? est impair (donc il existe k tel que n? = 2k +1)

donc




et finalement

donc est divisible par 5.

Si vous ajoutez des conditions, il faudra vérifier qu'aucun nombre premier congru à 3 modulo 10 ne vérifie ces conditions.

Jolie démo qui donne finalement la liste complète des contre exemples tel que 5|(n?+(n+1)?)
Ainsi donc le premier contre exemple donné par Amiel :
53?+54? en fait partie

Partant de la on pourrait reformuler la conjecture sous la forme :
****************************** ******************
Pour tout entier premier impair n et tel que n<>3 mod10,
"n?+(n+1)?" est premier si et seulement si
"n+(n+1)" est premier

Mais la encore, je suis persuadé qu'on va se heurter à un nouvel obstacle car ce que vous avez démontre dans le cas de la divisibilité par 5 existe sous une autre forme pour 7, 11, 13, 19 etc ...

[Médiat]

Reste à savoir (je le répète) ce que l'on entend par formule.
A ce tarif la je peux générer tout ce que je veux à l'aide d'un programme plus ou moins long (cf. les problèmes de complexité) mais est ce cela qu'on appelle formule ?

La question n'est pas là, la question est de savoir si un raisonnement basé sur la densité des nombres premiers permet de montrer qu'il n'existe pas de formule ne donnant que des nombres premiers ; la réponse est clairement non puisqu'il existe des formules (exploitables ou non) qui font exactement cela.

Pour illustrer ce point : si un raisonnement heuristique de cet ordre était démonstratif, la conjecture de Syracuse serait résolue depuis longtemps.

[anthony_unac]

Salut,
si justement, comme tu le supposes il y a équiprobabilité, ça veut dire qu'on est pas obligés de faire le raisonnement pour un grand nombre : on peut raisonner pour un petit, et la probabilité pour un grand sera la même.

raisonnons donc pour n=5
nombre de cas favorable : 4
nombre de cas total : 5

on en tire la conclusion que la probabilité que 5 soit premier est de 4/5, soit 0.8


Comme on a supposé équiprobabilité, la probabilité que n'importe quel nombre, en particulier (5?+6?) soit premier est 0.8...tu vois que c'est pas peine perdue de chercher une formule !

Euh non la y a quelque chose qui ne va pas dans ce raisonnement car la probabilité que (5?+6?) soit premier n'est pas égal à 0.8 loin de la.

[anthony_unac]

La question n'est pas là, la question est de savoir si un raisonnement basé sur la densité des nombres premiers permet de montrer qu'il n'existe pas de formule ne donnant que des nombres premiers ; la réponse est clairement non puisqu'il existe des formules (exploitables ou non) qui font exactement cela.

Pour illustrer ce point : si un raisonnement heuristique de cet ordre était démonstratif, la conjecture de Syracuse serait résolue depuis longtemps.

J'entends très bien votre raisonnement mais essayez d'entendre le mien :
Si l'on appelle formule un ensemble de caractères permettant blabla alors on peut trouver des formules pour tout et n'importe quoi.
Exemple une formule qui donnerait que des nombres premiers ou un nombre premier sur deux ou sur trois ou même plus inventif tiens un nombre premier puis une décimal de pi et puis le nombre premier suivant et puis la décimal de pi suivante etc ...
Autrement dit ce n'est plus un argument de dire oui mais il existe une formule (qui marche vraiment) qui donne ...
D'ou la nécessité de redéfinir ce qu'on entend par formule.

[invitec317278e]

Oui c'est sur néanmoins, on n'est pas face à une somme interminable de puissancielles contrairement aux formules de Minac et Willans (qui elles fonctionnent) qui passent par une somme interminable de factorielles.

Néanmoins, calculer (10 000)! n'est pas un réel problème, il n'y a que quelques dizaines de milliers de chiffres...faire de longues sommes, pourquoi pas, après tout, ça donne pas mal de nombres premiers, même si c'est long...alors que dès qu'on arrive à , aller, soyons gentils, 10?, bam, c'est fini, c'est mort...
Alors quitte à choisir, je ne sais pas vraiment si la puissancielle donne quelque chose d'utile. Certes, il n'y a pas de somme de factorielles, certes, on a inventé une notation pour rendre la formule d'apparence simple, mais est-ce réellement mieux ?

D'autant plus que je me permets de rappeler que le "?" n'est qu'une notation, et que lorsque l'on se dit que .
Ecris comme ça, sérieusement, je TE le demande : qu'appelle-tu formule ? car si tu es prêt à accepter quelque chose d'aussi compliqué comme formule, alors, Minac et Willans ne devrait pas tant que ça te déranger...
Je pense que tu te laisses emporter par la simplicité de notation de la puissancielle, alors qu'en fait, c'est pas plus simple qu'une somme de factorielle.

Euh non la y a quelque chose qui ne va pas dans ce raisonnement car la probabilité que (5?+6?) soit premier n'est pas égal à 0.8 loin de la.

effectivement, mais si quelque chose cloche dans mon raisonnement, c'est que quelque chose cloche dans le tien, puisque je n'ai fait que l'appliquer pour un entier plus petit.
A mon sens, les choses qui clochent sont
-qu'il n'y a pas "équiprobabilité" du tout
-que ce n'est absolument pas un "raisonnement" au sens scientifique du terme, mais tout au plus un moyen de voir qu'il n'y a pas beaucoup de nombres premiers, qui parle de probabilité sans en définir le sens, un moyen de se le représenter à soi même, mais en toute absence de rigueur

[anthony_unac]

Néanmoins, calculer (10 000)! n'est pas un réel problème, il n'y a que quelques dizaines de milliers de chiffres...faire de longues sommes, pourquoi pas, après tout, ça donne pas mal de nombres premiers, même si c'est long...alors que dès qu'on arrive à , aller, soyons gentils, 10?, bam, c'est fini, c'est mort...
Alors quitte à choisir, je ne sais pas vraiment si la puissancielle donne quelque chose d'utile. Certes, il n'y a pas de somme de factorielles, certes, on a inventé une notation pour rendre la formule d'apparence simple, mais est-ce réellement mieux ?

D'autant plus que je me permets de rappeler que le "?" n'est qu'une notation, et que lorsque l'on se dit que .
Ecris comme ça, sérieusement, je TE le demande : qu'appelle-tu formule ? car si tu es prêt à accepter quelque chose d'aussi compliqué comme formule, alors, Minac et Willans ne devrait pas tant que ça te déranger...
Je pense que tu te laisses emporter par la simplicité de notation de la puissancielle, alors qu'en fait, c'est pas plus simple qu'une somme de factorielle.



effectivement, mais si quelque chose cloche dans mon raisonnement, c'est que quelque chose cloche dans le tien, puisque je n'ai fait que l'appliquer pour un entier plus petit.
A mon sens, les choses qui clochent sont
-qu'il n'y a pas "équiprobabilité" du tout
-que ce n'est absolument pas un "raisonnement" au sens scientifique du terme, mais tout au plus un moyen de voir qu'il n'y a pas beaucoup de nombres premiers, qui parle de probabilité sans en définir le sens, un moyen de se le représenter à soi même, mais en toute absence de rigueur

Plusieurs choses pour recadrer ce débat :

1/ Je n'ai pas dit que la conjecture était vraie et encore moins qu'elle permettrait d'aboutir à une liste de grands nombres premiers aisément (quand bien même elle serait vraie).
2/ Souhaitez vous que je vous envoie la formule de Minac afin que vous rendiez compte de la lourdeur de la chose pour obtenir ne serait ce que p_100
3/ Pour ma part une formule (dans le cas présent) doit être un ensemble de caractères permettant d'obtenir rapidement des grands entiers premiers.
Reste à savoir ce qu'on entend par rapidement et surtout comment on peut noter un très grand entier premier ?
Arrivé à un certain niveau les étages de puissances ne suffisant plus (cf. la répartition des entiers en niveaux de JP Delahaye)
4/ Vous avez très bien compris le raisonnement avec la densité des nombres premiers même s'il était mal formulé alors pourquoi faire la sourde oreille.

[anthony_unac]

Jolie démo qui donne finalement la liste complète des contre exemples tel que 5|(n?+(n+1)?)
Ainsi donc le premier contre exemple donné par Amiel :
53?+54? en fait partie

Partant de la on pourrait reformuler la conjecture sous la forme :
****************************** ******************
Pour tout entier premier impair n et tel que n<>3 mod10,
"n?+(n+1)?" est premier si et seulement si
"n+(n+1)" est premier

Mais la encore, je suis persuadé qu'on va se heurter à un nouvel obstacle car ce que vous avez démontre dans le cas de la divisibilité par 5 existe sous une autre forme pour 7, 11, 13, 19 etc ...

Pour ma part, je propose la conjecture suivante qui parvient bien évidemment à se jouer de tous les contres exemples fournis jusqu'à présent :

tel que
n?+(n+1)? est premier si et seulement si
n+(n+1) est premier

NB: En ajoutant à cela la condition n est premier alors j'aboutis à quelque chose de juste mais de roublard

[Universus]

tel que
n?+(n+1)? est premier si et seulement si
n+(n+1) est premier

Pourtant, ces conditions n'excluent pas le cas n=3 et, selon la condition de Médiat, 3?+4? n'est pas premier, mais divisible par 5.

[Médiat]

Pourtant, ces conditions n'excluent pas le cas n=3 et, selon la condition de Médiat, 3?+4? n'est pas premier, mais divisible par 5.

Bonjour,
Dans la démonstration j'ai bien posé n > 3 (car 2? n'est pas un multiple de 4) ; par contre je n'ai pas repris cette condition dans la dernière phrase.

[anthony_unac]

Pourtant, ces conditions n'excluent pas le cas n=3 et, selon la condition de Médiat, 3?+4? n'est pas premier, mais divisible par 5.

3?+4? est premier et il me semble que dans la démo de Médiat, il se place d'entrée de jeu dans le cas ou n>3.

[anthony_unac]

Jolie démo qui donne finalement la liste complète des contre exemples tel que 5|(n?+(n+1)?)
Ainsi donc le premier contre exemple donné par Amiel :
53?+54? en fait partie

Partant de la on pourrait reformuler la conjecture sous la forme :
****************************** ******************
Pour tout entier premier impair n et tel que n<>3 mod10,
"n?+(n+1)?" est premier si et seulement si
"n+(n+1)" est premier

Mais la encore, je suis persuadé qu'on va se heurter à un nouvel obstacle car ce que vous avez démontre dans le cas de la divisibilité par 5 existe sous une autre forme pour 7, 11, 13, 19 etc ...

Vous noterez au passage que le contre exemple de Ben :
53 | (5?+6?)
met à mal cette dernière conjecture et montre finalement que la condition n<>3mod10 ne suffit pas comme on pouvait s'en douter.

[anthony_unac]

Pour ma part, je propose la conjecture suivante qui parvient bien évidemment à se jouer de tous les contres exemples fournis jusqu'à présent :

tel que
n?+(n+1)? est premier si et seulement si
n+(n+1) est premier

NB: En ajoutant à cela la condition n est premier alors j'aboutis à quelque chose de juste mais de roublard

Sans tenir compte de la roublardise n premier, cette dernière conjecture permet de dresser la liste (incomplète) des candidats en lice pour une éventuelle primalité :


...

En barrant les candidats tels que n multiple de 9 et tels que n+(n+1) premier, on s'aperçoit qu'il en reste beaucoup moins mais probablement trop encore pour espérer quoi que ce soit.

Bien évidemment, je suis convaincu qu'aucun de ces candidats n'est réellement premier à l'exception de 3?+4? et il y a même fort à parier que la majorité de ces candidats possède un diviseur d<p_100

Cordialement
Anthony Canu

[leg]

je pense que de dire, que les premiers se font de plus en plus rares n'apporte rien à la recherche de grands nombres premiers, pas plus que le nombre de premiers tend vers zéro , puisque la courbe des nombres premiers est oscillatoire par rapport zéro, lorsque l'on tend vers l'infini.

On peut aussi utiliser le petit théorème de Fermat pour trouver de grands premiers, pour cela on part du principe qu'il est très rare ..... de trouver un couple de pseudos premiers jumeaux, ayant un écart de 2 et en utilisant les entiers congru P modulo 30, pour P = 11.13; 17.19, 29.31; si le test de Fermat marche pour deux entiers des couples de cette forme, on est sur d'avoir un premiers ...Mais là aussi, ça coute cher.

on peut trouver des concentrations de premiers, à de grande distance, et ayant entre eux des écarts de 2,4,6..se raréfie, ne veut donc pas dire grand chose, a part t'enlever l'espoir dans trouver beaucoup et même une infinité....

[KerLannais]

Des entiers premiers congrus à modulo il n'y en a pas beaucoup Dans ce cas il est clair que la conjecture est correcte puisque tu impose que et est premier

[Universus]

Ah, je ne fais que dire des bêtises! Merci à Médiat et Anthony et toutes mes excuses.

[anthony_unac]

je pense que de dire, que les premiers se font de plus en plus rares n'apporte rien à la recherche de grands nombres premiers, pas plus que le nombre de premiers tend vers zéro , puisque la courbe des nombres premiers est oscillatoire par rapport zéro, lorsque l'on tend vers l'infini.

C'est sur que ce n'est pas en disant :
"Attention les nombres premiers se rariefient " qu'on risque de trouver des grands entiers premier.
Néanmoins, la raréfaction est un fait et il faut au moins l'avoir présent à l'esprit lorsqu'on cherche à oeuvrer dans ce sens.

On peut aussi utiliser le petit théorème de Fermat pour trouver de grands premiers, pour cela on part du principe qu'il est très rare ..... de trouver un couple de pseudos premiers jumeaux, ayant un écart de 2 et en utilisant les entiers congru P modulo 30, pour P = 11.13; 17.19, 29.31; si le test de Fermat marche pour deux entiers des couples de cette forme, on est sur d'avoir un premiers ...Mais là aussi, ça coute cher.

C'est qui "on" car j'imagine que ce n'est franchement pas à la portée du premier venu.
J'ignorais cette méthode de recherche merci d'avoir partager l'info.

on peut trouver des concentrations de premiers, à de grande distance, et ayant entre eux des écarts de 2,4,6..se raréfie, ne veut donc pas dire grand chose, a part t'enlever l'espoir dans trouver beaucoup et même une infinité....

Oui j'ai déja lu ça quelquepart, il y avait la célèbre conjecture sur les premiers jumeaux et plus récemment il y a eu un théorème (pas une conjecture ) sur les progressions arithmétiques de premiers :

Théorème de Green-Tao
*******************
« La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »
Autrement dit, pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes formée de nombres premiers.

La raréfaction veut néanmoins dire quelque chose et je vous propose le jeu suivant pour vous en convaincre :
Placer dans un chapeau tous les entiers entre 10 000 et 11 000.
Tirer (avec une main innocente) un des entiers du chapeau et dite moi sincèrement si vous avez obtenu beaucoup de premiers en répétant l'expérience plusieurs fois.

Après je veux bien comprendre que même s'il on se place loin dans les entiers (mettons vers la frontière de 9? pour fixer les idées) il est possible de tomber sur une *grappe* de premiers mais sincèrement personne ne peut raisonnablement croire qu'une formule simple puisse parvenir à tomber systématiquement sur ces concentrations de premiers et ce quelque soit la frontière ou l'on se trouve.
C'est bien pour cela par exemple que la formule de Fermat (F_n=2^2^n+1) échoue lamentablement dès lors ou l'on commence à tester des valeurs de n élevée.
Dernièrement j'ai lu qu'une équipe s'était payé le luxe de tester la primalité de F_24. Auriez vous misé gros sur la primalité de ce nombre ?
Le résultat fut sans appel, ce nombre est composé et cela n'a rien d'étonnant finalement.
Enfin, je vais conclure en me rapprochant un petit peu de votre point de vue en disant que ce n'est pas parce qu'un événement est rare (voire très rare) qu'il ne se produit pas.
Ainsi, si nous pouvions connaitre rapidement la primalité des nombres F_100, F_101, ... il est possible que nous tomberions sur un candidat premier.

Cordialement
Anthony Canu

[anthony_unac]

Des entiers premiers congrus à modulo il n'y en a pas beaucoup Dans ce cas il est clair que la conjecture est correcte puisque tu impose que et est premier

Ah bah oui au bout d'un moment ça tourne forcément à l'escroquerie KerLannais . Souviens toi par exemple de celle ci :

L = 0.200300005000000700000001100. ..

J'ai rien dit, c'est pas moi

[leg]

Bonjour à tous , Anthony

pour le petit théorème de Fermat ce qui n'est pas à la porté de tous c'est le matériel pour tester ces deux nombres une fois le test de Fermat effectué.

Anthony:
La raréfaction veut néanmoins dire quelque chose et je vous propose le jeu suivant pour vous en convaincre :
Placer dans un chapeau tous les entiers entre 10 000 et 11 000.

je supprime déjà 73.3333...3% des entiers de cette différence donc effectivement je ne vais tirer dans le chapeau que parmi les 266 entiers congru P [30] ("pour P de 7 à 31") disons que j'en ai effectivement environs 10 de moins qu'entre 9000 et 10000 mais cela fait une bonne probabilité d'en trouver 110 P sur 266 entiers congru P[30] (lorsque l'on cherche des premiers >5, autant se placer dans les entiers p modulo 30)

Anthony:
mais sincèrement personne ne peut raisonnablement croire qu'une formule simple puisse parvenir à tomber systématiquement sur ces concentrations de premiers et ce quelque soit la frontière ou l'on se trouve.

pas tout à fait exact, lorsque l'on cherche dans une des 8 familles des premiers P , congru P[30] .
suppose que je prenne le produit de tous les premiers>5 et consécutifs jusqu'à une très grande limite...appelons X ce produit qui est la limite de par exemple 11[30] donc à partir de ce point précis tous les premiers vont repartir et marquer les prochains entiers congrus 11[30] chaque entier dans cette famille augmente de 30 soit X+30, +30,+30, le septième entiers et marqué par 7 donc non premier, ainsi que le 11ème, puis le treizième, 17, 23, 29, 31, 37...etc.
ce qui me donne 8 entiers 11[30] non premiers d'office, sur 30. les 22 restant < à la borne marquée par 31 ne peuvent être P, que si un premier < X , et > Pn+1est venu les marquer; mais comme il se font très rares et qu'ils font de très très grands sauts = Pn+1, la probabilité qu'il y ait une concentration de premiers parmi ces 22 est intéressante avec un écart de 2,4,6.....non?
("Pn est le dernier premier du produit X").

concernant les Fn, penses tu qu'il n'y ai plus de P > F5...?

amicalement leg.

[leg]

attention , l'écart de 2,4, 6 dans ce cas précis ne veut pas dire une différence de 2, 4 ou 6 mais je peux avoir 2,4,ou 6 premiers avec une différence de 30...60..90..

[anthony_unac]

attention , l'écart de 2,4, 6 dans ce cas précis ne veut pas dire une différence de 2, 4 ou 6 mais je peux avoir 2,4,ou 6 premiers avec une différence de 30...60..90..

Qu'entendez vous par : " je peux avoir 2,4,ou 6 premiers avec une différence de 30...60..90.. "

[anthony_unac]

Bonjour Leg,
J'ai besoin de quelques précisions :

je supprime déjà 73.3333...3% des entiers de cette différence donc effectivement je ne vais tirer dans le chapeau que parmi les 266 entiers congru P [30] ("pour P de 7 à 31") disons que j'en ai effectivement environs 10 de moins qu'entre 9000 et 10000 mais cela fait une bonne probabilité d'en trouver 110 P sur 266 entiers congru P[30] (lorsque l'on cherche des premiers >5, autant se placer dans les entiers p modulo 30)

Pourquoi est ce que vous supprimez 73.3333 % des entiers.
La règle du jeu est d'en supprimer aucun au préalable et de tirer un entier au hasard.
En admettant que vous supprimiez quelques candidats au préalable, pourquoi parlez vous d'entiers p modulo 30.

pas tout à fait exact, lorsque l'on cherche dans une des 8 familles des premiers P , congru P[30] .
suppose que je prenne le produit de tous les premiers>5 et consécutifs jusqu'à une très grande limite...appelons X ce produit qui est la limite de par exemple 11[30] donc à partir de ce point précis tous les premiers vont repartir et marquer les prochains entiers congrus 11[30] chaque entier dans cette famille augmente de 30 soit X+30, +30,+30, le septième entiers et marqué par 7 donc non premier, ainsi que le 11ème, puis le treizième, 17, 23, 29, 31, 37...etc.
ce qui me donne 8 entiers 11[30] non premiers d'office, sur 30. les 22 restant < à la borne marquée par 31 ne peuvent être P, que si un premier < X , et > Pn+1est venu les marquer; mais comme il se font très rares et qu'ils font de très très grands sauts = Pn+1, la probabilité qu'il y ait une concentration de premiers parmi ces 22 est intéressante avec un écart de 2,4,6.....non?
("Pn est le dernier premier du produit X").

Ça recommence avec ce modulo 30, il faut croire que j'ai loupé un épisode la.
A vous lire on a l'impression qu'il devient aisé de trouver un nombre premier ou du moins que la probabilité de chopper du nombre premier augmente considérablement avec ce critère de présélection (le modulo 30).

concernant les Fn, penses tu qu'il n'y ai plus de P > F5...?

Ah je n'ai jamais dit ça, ma conclusion va même à l'encontre de cela :

Enfin, je vais conclure en me rapprochant un petit peu de votre point de vue en disant que ce n'est pas parce qu'un événement est rare (voire très rare) qu'il ne se produit pas.
Ainsi, si nous pouvions connaitre rapidement la primalité des nombres F_100, F_101, ... il est possible que nous tomberions sur un candidat premier.

Ce qu'il faut comprendre c'est que plus n augmente et plus la formule de Fermat génère des nombres F_n composés.

Cordialement
Anthony Canu

[anthony_unac]

Pour revenir à votre conjecture initiale, je ne prends comme hypothèse de départ que "n est premier".

Soit n un nombre premier (n > 3) tel que

Sauf erreur :

n - 1 est pair et par conséquent (n - 1)? est congru à 0 modulo 4 (c'est à dire qu'il existe un k tel que (n - 1)? = 4k):


donc


(n + 1) est congru à 4 modulo 10, et n? est impair (donc il existe k tel que n? = 2k +1)

donc




et finalement

donc est divisible par 5.

Si vous ajoutez des conditions, il faudra vérifier qu'aucun nombre premier congru à 3 modulo 10 ne vérifie ces conditions.

Maintenant que j'y pense, votre démonstration est valable également pour tout n>3 tel que qu'il soit premier ou pas.
Ainsi, le candidat est divisible par 5 ce qui infirme la dernière conjecture en date ... encore raté !

[leg]

bonjour:
1)
on trouve la famille des nombres premiers > 5 dans Z/30Z
soit 8 familles disjointes en progression arithmétique de raison 30 ayant comme premier terme P {7.11.13...31} ce qui représente 26.6666..6% des entiers naturels. Donc 73.3333% des autres entiers ne sont que 2.3.5 et leurs multiples.

je pense que l'on a plus de chance de tirer un premier dans ces 26.666% que dans la totalité des entiers...non? Chaque Famille contient la même densité de premiers.

2) concernant les Fn ok pour ta réponse;
c'était une question que je posai, la plupart des mathématiciens pensent qu'ils n'y en a plus; ce dont je doute fortement. même si pour l'instant on en a pas trouver un autre, mais l'infini est vaste...

3) on trouve plus de Fn composés lorsque augmente ce qui est tout à fait normale.
ils sont congrus 17[240];la suite 17[240] contient une infinité de premiers ;
Tout nombre premier de la forme a^m+1 vérifiant a> 1et m>1 est de la forme a²ⁿ+1 et l'entier a est pair.

si on prend les 8 familles P[30] on constate :

Fn 17 : (17 – 1)² + 1 = 257 P , 65537 P , 4294967297 c ,

19 ;(19 – 1)² + 1 = 325 c , 104977 c , il ne seront pas congrus 17[240] ainsi que les 4 autres Familles 1, 7,11,13,modulo 30 ("on remplace 1 par 31")

23 : (23 – 1)² + 1 = 485 c , 234257 c et  17 [240] > à 65537
29 : (29 – 1)² + 1 = 785 c , 614657 P et  17 [240] > à 65537 .

que les deux familles 23 et 29 modulo 30 se range dans la famille 17 [30]ce qui fait 3 familles qui peuvent donner des Premiers de la même forme: a^m+ 1 ("avec m une puissance de 2")
et (785-1)² +1 est premier .
En partant de a = 16, 22 ou 28, c'est une question de temps mais pas d'impossibilité...

[anthony_unac]

Re,

bonjour:
1)
on trouve la famille des nombres premiers > 5 dans Z/30Z
soit 8 familles disjointes en progression arithmétique de raison 30 ayant comme premier terme P {7.11.13...31} ce qui représente 26.6666..6% des entiers naturels. Donc 73.3333% des autres entiers ne sont que 2.3.5 et leurs multiples.

En commencant d'entrée de jeu avec : "on trouve la famille ... soit 8 familles ..." tu me brises tout espoir de compréhension Leg.
Ensuite concernant la progression arithmétique de raison 30 je peux comprendre le début mais au bout d'un moment cette progression ne génère plus d'entiers premier.
Exemple avec le premier terme de l'ensemble {7.11.13...31}:
****************************** *****************
7 est premier et 7+30=37 qui est aussi un nombre premier et 37+30=67 qui est premier et 67+30=97 qui est aussi un nombre premier et 97+30=127 qui est aussi un nombre premier et 127+30=157 qui est aussi un nombre premier mais 157+30=187 qui n'est pas un nombre premier (divisible par 18-7=11)

A partir de la je me perds dans vos familles et je ne comprends toujours pas ce 26.6666 % qui ne m'éclaire pas plus que le 73.3333% (mis à part le fait que 100%-73.3333%=26.6666%)

2) concernant les Fn ok pour ta réponse;
c'était une question que je posai, la plupart des mathématiciens pensent qu'ils n'y en a plus; ce dont je doute fortement. même si pour l'instant on en a pas trouver un autre, mais l'infini est vaste...

Si les mathématiciens le pensent c'est qu'ils doivent avoir de bonnes raisons. Concernant les tests de primalité des F_n, je ne sais pas ou est ce que l'on en est aujourd'hui ?
J'ai lu brièvement que tous les nombres de Fermat de F_5 à F_30 étaient composés mais peut être qu'aujourd'hui de nouveaux algorithmes ont permis de tester la primalité des nombres de Fermat supérieurs à F_32.

Cordialement
Anthony