[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

[anthony_unac]

Bonjour,

Quelqu'un peut il me donner une piste sur la manière dont on peut infirmer cette conjecture sur les nombres premiers ?

Cordialement
Anthony Canu
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[invite4ef352d8]

à vu de nez, je dirais que le plus simple est d'attendre une cinquantaine d'année que les ordinateur soit capable de tester quelques cas suplaimentaire pour trouver un contre exemple.

non sérieusement, à moins qu'il existe une factorisation "naturelle" de ces nombres (mais franchement, elle saute pas aux yeux) qui prouverait qu'ils ne sont pas premiers (mais vu qu'il y en a quand même quelques un qui sont premier c'est mal parti...) il n'y à aucune raison qu'il existe un argument pour montrer que c'est faux sans exhiber un contre exemple (ou en tous cas, aucun argument accessible à l'heur actuelle vu les faibles connaissance qu'on a sur la répartition des nombres premiers). bref le seul moyen c'est du calcule, et donc des ordinateurs puissant.

ou alors, peut-etre qu'en utilisant un teste de primalité plus adapté que celui de maple et en faisant tourné un ordinateur pendant plusieurs mois on pourait exhiber un contre exemple...

[anthony_unac]

à vu de nez, je dirais que le plus simple est d'attendre une cinquantaine d'année que les ordinateur soit capable de tester quelques cas suplaimentaire pour trouver un contre exemple.

non sérieusement, à moins qu'il existe une factorisation "naturelle" de ces nombres (mais franchement, elle saute pas aux yeux) qui prouverait qu'ils ne sont pas premiers (mais vu qu'il y en a quand même quelques un qui sont premier c'est mal parti...) il n'y à aucune raison qu'il existe un argument pour montrer que c'est faux sans exhiber un contre exemple (ou en tous cas, aucun argument accessible à l'heur actuelle vu les faibles connaissance qu'on a sur la répartition des nombres premiers). bref le seul moyen c'est du calcule, et donc des ordinateurs puissant.

ou alors, peut-etre qu'en utilisant un teste de primalité plus adapté que celui de maple et en faisant tourné un ordinateur pendant plusieurs mois on pourait exhiber un contre exemple...

C'est exactement ce que j'ai pu penser au début mais une personne assez connue dans le milieu m'en a dissuadé.
Effectivement, la puissance de calcul des machines ne doit pas être un frein au raisonnement mathématique et la seule façon d'avancer est de raisonner plutôt que de vouloir a tout prix tester.

Aujourd'hui je me rends compte qu'il avait raison car un intervenant de l'ile des mathématiques est parvenu à déterrer ce joli contre exemple :

"j'ai cherché et je pense avoir trouvé un contre-exemple :
Alors 16807+16806=33613 et 33613 est premier.
Maintenant, 16806?=16806^(16805?) = 16806^(5*16805?/5)= a^5.
Et 16807=7^5. Donc 16807? = b^5.
On a donc 16807?+16806? = a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3 b+a^2b^2-ab^3+b^4)
C'est gagné ! "

Cet intervenant infirme donc la conjecture n°2 en prouvant la non primalité d'une somme de deux entiers (16806? et 16807?) gigantesque à l'aide d'une petite identité remarquable toute simple.
Au passage, les entiers dont il est question ici dépassent de loin la capacité de calcul des machines actuelles et (probablement même futures) et n'ont aucun sens physique.

Cordialement
Anthony Canu

[KerLannais]

Bonjour,

Félicitation pour cette vidéo très pédagogique et cette conjecture amusante. Un détail toutefois la mise à la puissance n'est pas associative, par exemple

Il faut préciser à l'aide de parenthèses sur le premier exemple quel sens on donne à

Sinon, sauf erreur de ma part
est premier





en notant et
or on sait que

ainsi n'est pas premier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

Bonjour,

Quelqu'un peut il me donner une piste sur la manière dont on peut infirmer cette conjecture sur les nombres premiers ?

Cordialement
Anthony Canu

il suffit en premier de montrer des arguments suffisamment convaincant de « cette conjecture » et non pas un simple résultat sur quelque entiers, je pense…avant d’essayer de l’infirmer.

Sinon effectivement, le temps donnera probablement un contre exemple…car, il n’y a, il me semble, aucune raison de tomber toujours sur un nombre premier en faisant la somme de deux produits et ce quelque soit leur forme…

alors je conjecture que cette conjecture est fausse…

[anthony_unac]

alors je conjecture que cette conjecture est fausse…

... et vous avez naturellement entièrement raison

[anthony_unac]

Bonjour,

Félicitation pour cette vidéo très pédagogique et cette conjecture amusante. Un détail toutefois la mise à la puissance n'est pas associative, par exemple

Il faut préciser à l'aide de parenthèses sur le premier exemple quel sens on donne à

Sinon, sauf erreur de ma part
est premier





en notant et
or on sait que

ainsi n'est pas premier.

Joli contre exemple une fois de plus et qui repose encore sur une identité remarquable.
Pour exprimer 217? sous la forme d'une puissance de 3, vous pouvez également exploiter une des propriétés présenté dans la vidéo intitulée "[Maths] La Notation Puissancielle "n?" :

217? = (...((((217^216)^216)^216)^216 )^....)^216 // il y a dans ce cas (217-2)? = 215? étages de puissances

217? = A^216 = A^(72*3) = (A^72)^3 = B^3

Ce qui revient à dire que N? peut être vu comme un cube (N?=B^3) dès l'heure ou la racine numérique de N vaut 1 (RN(N)=1)

Cordialement
Anthony

[Seirios]

Bonjour,

Un autre contre-exemple qui utilise la même méthode que celle utilisée dans la vidéo :

, ce qui se factorise par une identité remarquable, et l'on conclut sachant que 3 divise 9?.

[anthony_unac]

Bonjour,

Un autre contre-exemple qui utilise la même méthode que celle utilisée dans la vidéo :

, ce qui se factorise par une identité remarquable, et l'on conclut sachant que 3 divise 9?.

Exact aussi !
On joue ici sur le fait que 10? est un cube car la racine numérique de 10 vaut 1 quant à 9? c'est aussi un cube tout naturellement.
Néanmoins tous ces contres exemples tombent à l'eau dès l'heure ou l'on rajoute une condition à la conjecture n°2 à savoir :

En ajoutant à cette conjecture n°2 la condition " n est premier " en plus de " n+(n+1) est premier ", il devient encore plus dur d'aller trouver un contre exemple.

Les cas 9?+10?, 16806?+16807? ou encore 216?+217? ne forment plus des contre exemples avec cette dernière condition.
Pensez vous qu'il soit possible dès l'heure de trouver encore des contre exemples ?

Cordialement
Anthony Canu

[invite7753e15a]

C'est quoi les points d'interrogations qu'on voit dans la conjecture ?

[anthony_unac]

C'est quoi les points d'interrogations qu'on voit dans la conjecture ?

Le point d'interrogation est la notation utilisée pour noter la puissancielle.
Vous pouvez retrouver ici la définition de la puissancielle.

Cordialement
Anthony Canu

[invite1e1a1a86]

a force de rajouter des conditions tu vas finir par dire
"n?+n+1? est premier si n?+n+1? est premier"
et celle là est vraie

[anthony_unac]

a force de rajouter des conditions tu vas finir par dire
"n?+n+1? est premier si n?+n+1? est premier"
et celle là est vraie

Oui c est la remarque que l on a pu me faire sur l'autre forum et je l entends parfaitement.
Néanmoins, je trouve que l'idée de renforcer une conjecture (infirmée par un contre exemple) peut être interressante au sens ou elle amène à une nouvelle conjecture plus solide que la précédente.

Par ailleurs, face à ce que l'on pourrait qualifier d'opiniâtreté, il est encore plus intéressant de voir la force du raisonnement mathématique face à un ennoncé erroné.

Cordialement
Anthony Canu

[KerLannais]

Bonjour,

Un autre contre-exemple qui utilise la même méthode que celle utilisée dans la vidéo :

, ce qui se factorise par une identité remarquable, et l'on conclut sachant que 3 divise 9?.

Depuis quand

[Seirios]

Depuis quand

Oups, désolé pour l'erreur

[KerLannais]

C'est sûr qu'il sera plus difficile de trouver un contre exemple à cette troisième conjecture à cause du lemme suivant

Lemme:Soit un nombre premier tel que est premier alors il est impossible de trouver des entiers , et tels que , et .

Preuve:

 Cliquez pour afficher

Supposons que ce soit le cas. On peut supposer que est premier, puisque si on a réussi a obtenir ce résultat avec un non premier alors on peut obtenir ce genre d'écriture en remplacant par n'importe lequel de ses facteurs premiers (tout nombre qui est une puissance est aussi une puissance si ). Puisque est premier, sa décomposition en facteurs premiers est

Tout diviseur premier de divise alors puisqu'il divise . Dès lors, est une puissance de . Ainsi, dans ce cas il existe un entier tel que

On a alors et en particulier . Puisque est premier, pour les même raisons que précédemment . On sait alors que est forcément impair puisque le seul nombre premier pair est et il n'est pas possible que puisque . De plus, on ne peut pas avoir sinon on aurait . On en déduit que la seule façon d'avoir est que avec un entier. On a alors

Puisque est premier on a nécessairement et . On ne peut avoir puisque . Puisque est premier il n'est pas divisible par ce qui implique que est impair puisque pour tout entier on a

Mais alors on a également et puisque doit être premier il ne doit pas être divisible par ce qui veut dire que doit être impair. Or ne peut pas être à la fois pair et impair. CQFD

[Elie520]

C'est pas plutôt un corollaire ?

[KerLannais]

C'est pas plutôt un corollaire ?

1- A priori la conjecture n'est pas démontrée et donc on ne peut rien montrer à partir de cette conjecture.
2- Je n'utilise ni la conjoncture ni son contraire pour prouver ce lemme
3- Si la conjecture était vraie on pourrait démontrer ce lemme pour impair de façon évidente, pour pair c'est beaucoup moins évident puisqu'il n'y a pas d'identité remarquable pour les somme de puissances paires.

donc non il s'agit bien d'un lemme

[Elie520]

Ah oui pardon

Sinon....

Tu as fait un raisonnement par l'absurde et abouti à une contradiction.
Par conséquent, une de tes hypothèses est fausse. Mais tu en as vite conclu que c'était la suivante :

"Soit un nombre premier tel que est premier alors il est POSSIBLE de trouver des entiers , et tels que , et "


Ainsi, tu conclus :

Soit un nombre premier tel que est premier alors il est IMPOSSIBLE de trouver des entiers , et tels que , et

Mais pour moi, la seule chose que tu as démontré, c'est que s'il était possible de trouver de tels nombres, alors n'est pas premier, puisqu'en effet, cela fait partie de tes hypothèses de départ.
Me trompe-je ? Pour moi, ton raisonnement n'est pas valide, et le lemme avec. Cependant, éclaire-moi si j'ai loupé quelque chose, c'est fortement possible !

[KerLannais]

Soit un nombre premier tel que est premier (par exemple ). Suppose que tu ais trouvé des entiers naturels , et tels que , et mais n'est pas premier. Soit un diviseur premier de (tout nombre strictement plus grand que admet des diviseurs premiers puisque tout nombre se décompose en facteurs premiers). On écrit

avec un entier (pas nécessairement premier)
Alors
et avec
et . On a bien réussi à obtenir une écriture sous la bonne forme avec un exposant premier. Ainsi, si ce genre d'écriture n'est pas possible pour premier elle ne l'est pas non plus pour n'importe quel . Raisonnement que j'ai fais dans ma preuve de façon pas très détaillée

[inviteaf1870ed]

il n'y a pas d'identité remarquable pour les somme de puissances paires.

Je crois bien que si : a⁴+b⁴=(a²+b²)²-2a²b²=(a²+b²-rac(2)ab)(a²+b²+rac(2)ab) par exemple

[Elie520]

Okay

Par contre, s'il y a bien une ligne que je ne comprends pas, c'est celle-la :
"Tout diviseur premier de divise alors puisqu'il divise ."

Comme est premier, on a pas plutôt ?

[anthony_unac]

Depuis quand

Autant pour moi également 3^3 <> 3*3

En guise de consolation avec les cubes je propose le contre exemple :
729?+730? en jouant sur le fait que 729 = 9^3 et RN(730)=1

Le cube précédent ce cas à été proposé par KerLannais (216?+217?)

Cordialement
Anthony

[anthony_unac]

C'est sûr qu'il sera plus difficile de trouver un contre exemple à cette troisième conjecture à cause du lemme suivant

Lemme:Soit un nombre premier tel que est premier alors il est impossible de trouver des entiers , et tels que , et .

Je crois que la on touche du bout des doigts le vrai problème à savoir :
Existe t il une autre façon de décomposer n?+(n+1)? en produit de facteurs sans passer par l'utilisation d'une identité remarquable de la forme a^k+b^k.
Lorsqu'on parvient à réécrire n?+(n+1)? sous la forme a^k+b^k, on aboutit bien sur à un produit de deux facteurs ce qui permet de conclure sur la non primalité de n?+(n+1)? mais dès l'heure ou la réécriture de n?+(n+1)? sous la forme a^k+b^k n'est pas possible, pouvons nous pour autant conclure sur la non primalité de n?+(n+1)? ?

Ce n'est pas évident au premier abord et je vais commencer par me documenter sur les différentes identités remarquables. De mémoire il me semble que l'inde a fourni de nombreux résultats dans ce domaine.

[KerLannais]

L'identité
est difficilement utilisable en aritmétique étant donné que n'est pas un entier. Je pense que anthony_unac ne sera pas satisfait si on lui montre que sa conjecture est fausse dans ou

Sinon pour répondre à Elie, puisque n'est pas forcément premier tu ne peux pas conclure que divise s'il divise . En effet, pour , divise et pourtant ne divise pas . Par contre puisque


est un multiple de . Si maintenant tu considères un diviseur premier de , en écrivant tu as

autrement dit est un multiple de donc puisque est premier il fait partie de la liste des diviseurs premiers de . Puisque est premier

est la décomposition en facteurs premiers de , autrement dit le seul diviseur premier de est de sorte qu'on a nécessairement et

Ainsi divise . Mais on a même mieux, on sait que selon le même raisonnement tous les diviseurs premiers de sont nécessairement égaux à et donc quand on écrit la décomposition en facteurs premiers de on voit que c'est forcément une puissance de

[Elie520]

Il faut préciser avec k impair dans le cas général. Sinon, pour k pair, il peut y avoir des identités remarquables, mais faisant intervenir des racines et pouvant nous faire sortir de .

[Elie520]

L'identité
est difficilement utilisable en aritmétique étant donné que n'est pas un entier. Je pense que anthony_unac ne sera pas satisfait si on lui montre que sa conjecture est fausse dans ou

Sinon pour répondre à Elie, puisque n'est pas forcément premier tu ne peux pas conclure que divise s'il divise . En effet, pour , divise et pourtant ne divise pas . Par contre puisque


est un multiple de . Si maintenant tu considères un diviseur premier de , en écrivant tu as

autrement dit est un multiple de donc puisque est premier il fait partie de la liste des diviseurs premiers de . Puisque est premier

est la décomposition en facteurs premiers de , autrement dit le seul diviseur premier de est de sorte qu'on a nécessairement et

Ainsi divise . Mais on a même mieux, on sait que selon le même raisonnement tous les diviseurs premiers de sont nécessairement égaux à et donc quand on écrit la décomposition en facteurs premiers de on voit que c'est forcément une puissance de

C'est bien ce que je disais, , on est d'accords. Mais tu l'as dis à l'envers dans ta première démonstration je crois ^^

[anthony_unac]

Il faut préciser avec k impair dans le cas général. Sinon, pour k pair, il peut y avoir des identités remarquables, mais faisant intervenir des racines et pouvant nous faire sortir de .

Oui effectivement on reste dans le cas des k impairs car j'aime trop l'arithmétique dans IN pour en sortir

[KerLannais]

Par contre on a des identitées remarquables du genre

[inviteaf1870ed]

Ca ressemble bougrement à la mienne ! Et une identité remarquable est elle nécessairement avec des entiers ?